Równanie Diraca jest podstawowym równaniem w
relatywistycznej mechanice kwantowej
, sformułowanym przez angielskiego fizyka
Paula Diraca
w
1928
roku. Spełnia ono taką samą rolę jak
równanie Schrödingera
w nierelatywistycznej mechanice kwantowej. W opisie relatywistycznym równanie Diraca ma elegancką postać:
gdzie:
- - współrzędne punktu w
czasoprzestrzeni
- - czterogradient
γμ
Obiekty γμ są czterowymiarowymi macierzami
zespolonymi
(
macierzami gamma
), są one tak dobrane by spełnione również było
równanie Kleina-Gordona
. Narzuca to regułę antykomutacyjną postaci:
gdzie:
- -
antykomutator
Jest bardzo wiele sposobów wyboru tych macierzy, np. reprezentacja Pauliego - Diraca ma postać:
- ,
- σi (i=1,2,3) są
macierzami Pauliego
, zaś I jest macierzą jednostkową.
Ψ(xν)
Obiekt Ψ(xν) jest nazywany bispinorem Diraca, jest to macierz zespolona pionowa o czterech wierszach:
Bispinor Diraca jest odpowiednikiem
funkcji falowej
w nierelatywistycznej mechanice kwantowej.
Gęstość prawdopodobieństwa
w teorii Diraca jest zdefiniowana jako:
gdzie: oznacza
sprzężenie hermitowskie
.
Prócz bispinorów i występuje trzeci rodzaj bispinora postaci:
Analogie między równaniem Diraca a Schrödingera
Równanie Diraca można przekształcić do postaci podobnej do równania Schrödingera. Definiujemy nowe macierze:
- αi = γ0γi
- β = γ0
Równanie Diraca definiuje
hamiltonian
relatywistycznego fermionu i przyjmuje postać:
gdzie
i to
jednostka urojona
(ha kreślone) jest
stałą Plancka
podzieloną przez 2π; nazywana niekiedy zredukowaną stałą Plancka lub (zwłaszcza w literaturze anglojęzycznej)
stałą Diraca
jest czteroskładnikową funkcją falową (bispinorem Diraca) zależną od wspołrzędnych
czasoprzestrzennych
cząstki
c jest prędkością światła
jest operatorem pędu
m0 masą spoczynkową cząstki
Równanie Diraca pozwala opisywać cząstki o
spinie
1/2 (
fermiony
). Gdy cząstka się nie porusza, równanie Diraca przyjmuje postać: