Trójkąt Pascala jest to trójkątna tablica liczb:

 0                     1 1                   1   1 2                 1   2   1 3               1   3   3   1 4             1   4   6   4   1 5           1   5   10  10   5   1 6         1   6   15  20  15   6   1 7       1   7   21  35  35   21  7   1 8     1   8   28  56  70  56   28  8   1 9   1   9  36   84  126 126  84  36  9   1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią

Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią. Liczby stojące w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona - rozwinięcia . Na przykład:

• w trzecim wierszu trójkąta mamy 1, 3, 3, 1.

Inaczej: licząc miejsca w wierszu od zera, liczba stojąca na miejscu k w wierszu n jest równa .

Przykład: W wierszu 5 na miejscu 2 stoi 10 co jest właśnie równe .

Uważa się, że trójkąt ten został odkryty na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków i niezależnie przez Omara Chajjama XI. W XVII w. matematyk francuski Blaise Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala.

Własności trójkąta

• Na skrajnych bocznych (zerowy) rzędach trójkąta są jedynki.
• W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4, ...).
• W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10, ...).
• W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35)
• W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej.
• Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n-komórkowe .
• Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów trójkącie w przestrzeni jedno- i zerowymiarowej.
• Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2.
• Każdy element trójkąta zawiera liczbę różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się do sąsiednich elementów w lewo w dół oraz w prawo w dół.
• Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego :

 0                     1                                      # 1                   1   1                                  #   # 2                 1   2   1                              #       # 3               1   3   3   1                          #   #   #   # 4             1   4   6   4   1                      #               # 5           1   5  10  10   5   1                  #   #           #   # 6         1   6  15  20  15   6   1              #       #       #       # 7       1   7  21  35  35  21   7   1          #   #   #   #   #   #   #   # 8     1   8  28  56  70  56   28  8   1      #                               # 9   1   9  36  84  126 126 84  36   9   1  #   #                           #   #

Programy obliczające

Przykład prostej (ale nieekonomicznej) funkcji rekurencyjnej w języku Pascal , obliczającej element trójkąta Pascala. Wzór wynika z definicji rekurencyjnej elementów trójkąta.

function pascal(n,k:integer):integer;begin  if (k=0) or (k=n) then     pascal := 1  else     pascal := pascal(n-1, k-1) + pascal(n-1,k);end;

Przykład drzewa Pascala napisany w jezyku c++, n - ilosc wierszy, tablica zwraca wartosc wspolczynnika w zadanym wierszu i kolumnie

int **trojkatPascala;trojkatPascala= new int *[n]; for (int j=0;j<n;j++){ trojkatPascala[j]=new int [j+1]; trojkatPascala[j][0]=1;trojkatPascala[j][j]=1;for (int i = 0; i<j-1; i++) trojkatPascala[j][i+1]=trojkatPascala[j-1][i]+trojkatPascala[j-1][i+1];}

A oto przykład programu w Pythonie wypisującego liczby z trójkąta Pascala dla zadanej liczby rzędów:

def wypisz(linijka):    print ' '.join([str(l) for l in linijka]) def pascal(wielkosc):    linijka = [1]    wypisz(linijka)    for i in range(wielkosc - 1):        kolejna = [1]for i in range(len(linijka) - 1):            kolejna.append(linijka[i] + linijka[i+1])        kolejna.append(1)        linijka = kolejna        wypisz(linijka) if __name__ == '__main__':    import sys    if len(sys.argv) == 2:        pascal(int(sys.argv[1]))    else:        print "Uzycie: python "+sys.argv[0]+" <ilosc wierszy>"

Zobacz też

• ,
• kombinacja ,
• symbol Newtona ,
• dwumian Newtona ,
• Pascal .

Linki zewnętrzne

• Praca Pascala Traité du triangle arithmétique z 1654 (po francusku ) wraz z opisem w j. angielskim