Iloczyn skalarny –
operator
na
przestrzeni liniowej
przypisujący dwóm
argumentom
z tej przestrzeni
rzeczywistą
wartość
skalarną
. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, jednak odnosi się ono zwykle do ogólniejszych iloczynów skalarnych w
przestrzeniach unitarnych
.
Artykuł ten opisuje domyślny iloczyn skalarny
ortonormalnych
przestrzeni euklidesowych
nazywany (dla odróżnienia od innych możliwych) zwykłym, standardowym bądź euklidesowym; niżej określenia te będą pomijane.
Definicja i przykłady
Iloczyn skalarny dwóch wektorów (z rozważanej przestrzeni euklidesowej) oraz wynosi z definicji
- .
Przykładowo iloczyn skalarny dwóch trójwymiarowych wektorów (1,3, − 5) oraz (4, − 2, − 1) jest równy
- .
Korzystając z
mnożenia macierzy
i traktując wektory (kolumnowe) jako
macierze
wymiaru , iloczyn skalarny można także zapisać jako
- ,
gdzie oznacza
transpozycję
macierzy .
W powyższym przykładzie uzyskamy wówczas mnożenie -macierzy (np. wektora) przez -wektor (który ze względu na naturę mnożenia macierzy da w wyniku -macierz, np. skalar):
- .
Interpretacja geometryczna
|a|•cos(θ) jest rzutem skalarnym a na b
W przestrzeni euklidesowej istnieje silna zależność między iloczynem skalarnym a
długością
i
kątem
. Dla wektora , jest kwadratem jego długości, a ogólniej, jeśli jest innym wektorem, to
- ,
gdzie
- oznaczają długość (wartość) oraz ,
- θ jest kątem między nimi.
Ponieważ jest rzutem skalarnym na , iloczyn skalarny może być rozumiany geometrycznie jako iloczyn tego rzutu przez długość .
Ponieważ
cosinus
wynosi zero, to iloczyn skalarny dwóch
prostopadłych
wektorów jest zawsze równy zeru. Jeżeli oraz mają długość jeden (są
wersorami
), to iloczyn skalarny daje w wyniku po prostu kosinus kąta między nimi. Dlatego, dla danych dwóch wektorów, kąt między nimi może być wyznaczony przez przekształcenie powyższego wzoru:
- .
Czasem własności te służą jako definicja iloczynu skalarnego, szczególnie w dwóch lub trzech wymiarach. Oczywiście definicja ta jest równoważna powyższej. Dla wyższych wymiarów wzór ten może być użyty do zdefiniowania pojęcia kąta.
Własności geometryczne uzależnione są od
bazy
wektorów prostopadłych o jednostkowej długości. Można przyjąć takiej bazy lub użyć dowolnej bazy i zdefiniować długość oraz kąt (włączając w to prostopadłość) jak wyżej.
Jak pokazuje interpretacja geometryczna, iloczyn skalarny jest niezmienniczy ze względu na
izometryczne
zmiany bazy: obroty, odbicia oraz kombinacje przy zachowaniu początku.
Innymi słowy i ogólniej dla dowolnego n iloczyn skalarny jest niezmienniczy ze względu na zmianę współrzędnych obrazowaną
macierzą ortogonalną
. Odpowiada to następującym dwóm warunkom:
- nowa baza jest także ortonormalna (tzn. jest ortonormalna w stosunku do poprzedniej),
- nowe wektory bazy mają taką samą długość jak stare (tzn. jednostkowe, jeżeli są wyrażone wektorami starej bazy)
Fizyka
W
fizyce
iloczyn skalarny jest w powszechnym użyciu, co wynika bezpośrednio z faktu, że zarówno w
fizyce klasycznej
jak i
kwantowej
podstawę matematyczną badań stanowią
przestrzenie liniowe
z określonym na niej iloczynem skalarnym, przykładami mogą być:
W zależności od dziedziny fizyki oraz kontekstu korzysta się z różnych sposobów zapisu iloczynu skalarnego
- , gdzie są wektorami ;
- , gdzie są wektorami .
Iloczyn skalarny (
iloczyn wewnętrzny
) bywa też oznaczany
- , gdzie są wektorami w przestrzeni Hilberta (zob.
notacja Diraca
).
Przykładem wielkości fizycznej definiowanej za pomocą iloczynu skalarnego jest
praca mechaniczna
, która jest iloczynem skalarnym
siły
i
przemieszczenia
.
Własności
Następujące własności są prawdziwe dla dowolnych
wektorów
oraz dowolnego
skalara
r:
Przy mnożeniu przez wartość skalarną zachodzi następująca równość:
- .
Ostatnie dwie własności wynikają z dwóch pierwszych.
Dwa niezerowe wektory oraz są
prostopadłe
wtedy i tylko wtedy, gdy .
Jeżeli jest
wektorem jednostkowym
, to iloczyn skalarny określa wartość rzutu w kierunku , ze znakiem ujemnym, jeżeli kierunek jest przeciwny. Często przydatne jest rozkładanie wektorów w celu ich wygodnego dodawania, np. obliczania
siły wypadkowej
w
mechanice
.
W przeciwieństwie do mnożenia liczb, gdzie jeżeli , to o ile to , dla iloczynu skalarnego nie zachodzi prawo skracania. Jeżeli , to korzystając z prawa rozdzielności możemy zapisać równoważną równość . Jest ona spełniona, gdy czynniki są
ortogonalne
, czyli zachodzi dowolna kombinacja warunków:
- pierwszy wektor jest zerowy: , lub
- drugi wektor jest zerowy: , czyli , lub
- wektory są
prostopadłe
: .
Spełnienie trzeciego warunku prowadzi więc do spełnienia równości , nawet gdy i .
Reprezentacja macierzowa
Iloczyn wewnętrzny może być przedstawiony w formie macierzy. Niech dane będą dwa wektory
wyrażone w
bazie
S,
- .
wówczas każdy iloczyn wewnętrzny może być przedstawiony następująco:
- ,
gdzie jest reprezentacją -macierzową iloczynu wewnętrznego. Dla danej macierzy iloczynu wewnętrznego w bazie oznaczanej , macierz może być obliczona przez rozwiązanie następującego
układu równań
:
Przykład
Dany jest zbiór bazowy
oraz macierz iloczynu wewnętrznego wyrażonego w ,
- .
Możemy przyrównać każdy element CS do iloczynu skalarnego dwóch wektorów bazowych wg wzoru
- .
Tym sposobem otrzymujemy dziewięć równań i tyleż niewiadomych. Ich rozwiązanie daje
Uogólnienia
Iloczyn skalarny uogólnia się na
abstrakcyjne przestrzenie liniowe
nazywane wtedy
przestrzeniami unitarnymi
, wówczas oznacza się go zwykle . Ze względu na interpretację geometryczną iloczynu skalarnego
norma
wektora w takiej przestrzeni unitarnej zdefiniowana jest jako
tak, że uogólnia długość oraz kąt θ między dwoma wektorami oraz przez
- .
Iloczyn wewnętrzny Frobeniusa
określa iloczyn wewnętrzny na macierzach, jak gdyby były one wektorami dwuwymiarowymi, sumując iloczyny odpowiadających sobie elementów.
Dowód interpretacji geometrycznej
- Uwaga
- Ten dowód przeprowadzony jest dla wektorów trójwymiarowych, ale łatwo uogólnia się na wektory n-wymiarowe.
Niech będzie dany wektor
- .
Kilkakrotne zastosowanie
twierdzenia Pitagorasa
daje względem jego długości v równość
- .
Jest to jednak to samo, co
- ,
a więc iloczyn wektora przez siebie to kwadrat jego długości.
-
Lemat
1
- .
Niech wektory oraz będą zaczepione w początku układu i skierowane do siebie pod kątem θ. Trzeci wektor może być zdefiniowany jako
- ,
tworząc przy tym trójkąt o bokach a,b,c. Zgodnie z
twierdzeniem cosinusów
mamy
- .
Podstawiając iloczyny skalarne za podniesione do kwadratu długości, zgodnie z lematem 1, otrzymuje się
Ponieważ , jest również
- ,
co, zgodnie z prawem rozdzielności, rozszerza się do
Łącząc obydwa równania , (1) oraz (2), dostaje się
- .
Odjęcie od obu stron i podzielenie przez − 2 daje ostatecznie
- .
Zobacz też
Linki zewnętrzne