Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczneFunkcje trygonometryczne –
funkcje matematyczne
wyrażające między innymi
stosunki
między długościami boków
trójkąta prostokątnego
względem
miar
jego
kątów wewnętrznych
. Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oderwaniu od
geometrii
. W
analizie matematycznej
są one definiowane m.in. za pomocą
szeregów potęgowych
lub jako rozwiązania pewnych
równań różniczkowych
. Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się używa. Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach
matematyki
, innych
naukach ścisłych
i
technice
; działem matematyki badającym te funkcje jest
trygonometria
, lub ściślej:
goniometria
. DefinicjeIstnieje wiele równoważnych definicji funkcji trygonometrycznych, zarówno bazujących na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych. Definicja z elementów trójkąta prostokątnegoFunkcje trygonometryczne dla
miar
kątów ostrych
można zdefiniować jako
stosunki
długości odpowiednich dwóch boków
trójkąta prostokątnego
przy
kącie wewnętrznym
danej miary[1] (niżej zastosowano typowe oznaczenia, przedstawione na rysunku obok): Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji - sinus – oznaczany w Polsce[2] – stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta (na rysunku ) i długości przeciwprostokątnej ;
- cosinus (lub kosinus) – oznaczany – stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta i przeciwprostokątnej ;
- tangens – oznaczany w Polsce[2] – stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta i długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta;
- cotangens (kotangens) – oznaczany w Polsce[2] – stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta i długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta;
- secans (sekans) – oznaczany w Polsce[2] – stosunek długości przeciwprostokątnej i długości przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego ;
odwrotność
cosinusa;
- cosecans (kosekans) – oznaczany w Polsce[2] lub – stosunek długości przeciwprostokątnej i długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ostrego ; odwrotność sinusa.
Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki[1]: Dla miar kątów większych od
90°
oraz dla ujemnych miar kątów skierowanych powyższą definicję można uogólnić, przyjmując ujemną długość odpowiednich odcinków. Dawniej używano też kilku innych funkcji, takich jak:
- haversin (
ang.
half of the versine)[4]:
Obecnie nie są one używane, choć zastosowanie funkcji haversin upraszczało obliczanie odległości dwóch punktów na powierzchni Ziemi[7]. Definicja za pomocą kąta skierowanegoDefinicja na ramieniu kąta Jeżeli
kąt skierowany
ustawi się tak, aby jego wierzchołek znalazł się w początku
prostokątnego układu współrzędnych
, pierwsze ramię kąta pokrywa się z pierwszą dodatnią
półosią układu
, a jego drugie ramię jest dowolną
półprostą
leżącą w
płaszczyźnie
układu, wychodzącą z punktu oraz zawierającą pewien punkt różny od , to funkcje trygonometryczne miary kąta skierowanego określa się wzorami[8]:
gdzie . Stosunki te nie zależą od położenia punktu na ramieniu kąta (wynika to wprost z własności
podobieństwa trójkątów
).
Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazwDefinicja na okręgu jednostkowym Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków[9]:
Dla miar kątów spoza przedziału , konieczne jest uogólnienie i przyjęcie ujemnej miary niektórych odcinków, podobnie jak w przypadku definicji na trójkącie prostokątnym. Jeśli chodzi o definicję samego sinusa i cosinusa to nie ma takiego problemu w przypadku gdy zamiast na długości odcinków, patrzeć będziemy na współrzędne punktu A, wówczas:
Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku można przyjąć pole
wycinka
– ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka
hiperboli
, analogicznego do [10]. Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym. - Sinus, czyli połowa długości cięciwy , był w pracach hinduskiego matematyka
Aryabhaty
w
sanskrycie
nazywany ardha-jiva ("połowa cięciwy"), co zostało skrócone do jiva, a następnie transliterowane do arabskiego jiba (جب). Europejscy tłumacze,
Robert z Chester
i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym
Toledo
pomylili jiba z jaib (جب), oznaczającym "zatokę" prawdopodobnie dlatego, że jiba (جب) i jaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po
łacinie
właśnie zatoka.
- Tangens pochodzi od łacińskiego tangere – dotykający, styczny, gdyż odcinek jest
styczny
do okręgu.
- Secans pochodzi z łacińskiego secare – dzielić, rozcinać, rozstrzygać i znaczy odcięcie. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka , odcinanego przez styczną (tangens).
- Cosinus, cotangens i cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus
kąta dopełniającego
. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego . Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta. Przedrostek "ko-" był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (koti-jya, kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje[11].
Definicja za pomocą szeregu Taylora
Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13 utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora Definicje za pomocą szeregów określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych
liczb rzeczywistych
, dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór
liczb zespolonych
,
kwaternionów
,
macierzy
, a nawet na
algebry operatorów
,
przestrzenie unormowane
czy
pierścienie nilpotentne
[12]. Definicje te są też stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych. Zachodzą równości[13][14][15]: - gdzie to
liczby Bernoulliego
- gdzie to
liczby Eulera
Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym
przedziale
zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością
jednostajnie przybliżać
wielomianami
. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie.
Definicja za pomocą równań funkcyjnychTwierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para
funkcji rzeczywistych
taka, że dla każdego :
Tymi funkcjami są[16]:
Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować[17] również jako jedyne funkcje oraz spełniające poniższe trzy warunki:
Definicja za pomocą równań różniczkowychSinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi
równania różniczkowego
które opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na
sprężynie
(tzw.
oscylator harmoniczny
, patrz Harmoniki). Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki[18]:
Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego[18]
Definicja za pomocą iloczynów nieskończonychFunkcje trygonometryczne można też wprowadzić za pomocą
iloczynów nieskończonych
[19]:
Definicja za pomocą ułamków łańcuchowychNiektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci
ułamków łańcuchowych
[20][21][22]:
Definicje za pomocą ogólniejszych funkcjiFunkcje trygonometryczne można też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadki
funkcji Bessela
,
funkcji Mathieu
albo funkcji eliptycznych Jacobiego[23]. Własności Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej Przebieg zmienności funkcjiW matematyce na poziomie szkół średnich i w wielu praktycznych zastosowaniach rozpatruje się funkcje trygonometryczne dla argumentu będącego
liczbą rzeczywistą
. Mają one wówczas następujące własności: -
Dziedzina
i
asymptoty
- Funkcje sinus i cosinus określone są dla każdej liczby rzeczywistej.
- Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać , gdzie jest
liczbą całkowitą
.
- Cotangens jest określony w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych poza liczbami postaci , gdzie jest liczbą całkowitą.
- Tangens i secans mają asymptoty pionowe w punktach postaci , a cotangens i cosecans w punktach postaci . Żadna z tych funkcji nie ma asymptot innego rodzaju.
-
Przeciwdziedzina
- Sinus i cosinus są
ograniczone
: przyjmują wartości z przedziału . Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans i cosecans wartości ze zbioru[24] .
-
Ekstrema
- Maksymalną wartość, w obu przypadkach , sinus przyjmuje w punktach , a cosinus w punktach , gdzie jest całkowita.
- Minimalną wartość, dla obu funkcji , sinus przyjmuje w punktach , a cosinus w punktach , gdzie jest całkowita.
-
Miejsca zerowe
- Miejscami zerowymi sinusa i tangensa są punkty postaci , gdzie jest całkowita.
- Miejscami zerowymi cosinusa i cotangensa są punkty postaci , gdzie jest całkowita.
-
Parzystość i nieparzystość
- Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus i secans parzyste:
-
Okresowość
- Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa i cosecansa jest liczba a tangensa i cotangensa [25][26]:
- gdzie jest liczbą całkowitą.
-
Ciągłość
i
różniczkowalność
- Funkcje sinus i cosinus są ciągłe i różniczkowalne w każdym punkcie prostej rzeczywistej. Tangens, cotangens, secans i cosecans także są ciągłe i różniczkowalne w swoich dziedzinach (zob. wyżej).
-
Odwracalność
- Własności algebraiczne
Wykresy
Krzywe
, będące
wykresami funkcji
sinus, cosinus, tangens, cotangens nazywa się odpowiednio: sinusoidą, cosinusoidą (kosinusoidą), tangensoidą i cotangensoidą (kotangensoidą)[26]. Cosinusoida jest sinusoidą
przesuniętą
o
wektor
. Linie pionowe to asymptoty. Wykresy można powiększyć przez kliknięcie myszką. Sinusoida: wykres funkcji | Cosinusoida: wykres funkcji |
Tangensoida: wykres funkcji | Cotangensoida: wykres funkcji | Wykres funkcji secans | Wykres funkcji cosecans |
Wartości dla typowych kątówWartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°[28]: radiany | | | | | | | |
---|
stopnie | | | | | | | |
---|
| | | | | | | |
---|
| | | | | | | |
---|
| | | | | | | nieokreślony |
---|
| nieokreślony | | | | | | |
---|
| | | | | | | nieokreślony |
---|
| nieokreślony | | | | | | |
---|
Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla argumentów postaci dają się zapisać za pomocą skończonego wzoru z użyciem podstawowych
działań arytmetycznych
i
pierwiastka kwadratowego
wtedy i tylko wtedy, gdy po skróceniu ułamka liczba jest iloczynem potęgi dwójki i różnych
liczb pierwszych Fermata
(jak dotąd znanych jest pięć takich liczb: 3,5,17,257,65537)[29][30]. W szczególności nie da się zapisać w ten sposób dokładnej wartości funkcji kąta 1° gdyż a ma drugą potęgę przy trójce. Warunek na jest identyczny jak warunek konstruowalności -kąta foremnego za pomocą cyrkla i linijki (por.
twierdzenie Gaussa-Wantzela
). Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić dowolny rzeczywisty argument funkcji trygonometrycznej do argumentu z przedziału czyli [31]: | I ćwiartka | II ćwiartka | III ćwiartka | IV ćwiartka |
---|
| | | | | | | |
---|
| | | | | | |
---|
| | | | | | | |
---|
| | | | | | | |
---|
| | | | | | | |
---|
| | | | | | | |
---|
Aby zapamiętać zmianę funkcji, można wspomagać się następującą obserwacją: funkcja przechodzi w swoją kofunkcję, jeżeli rozpatrywany kąt ma postać bądź , w przypadkach oraz funkcja nie ulega zmianie. Znaki w poszczególnych ćwiartkach układu dla odpowiednich funkcji w powyższej tabelce zgodne są ze znakami redukowanych funkcji w danej ćwiartce wg tabeli[24]: Ćwiartki układu współrzędnych | I ćwiartka | II ćwiartka | III ćwiartka | IV ćwiartka |
---|
| + | + | – | – | | + | – | – | + | | + | – | + | – | | + | – | + | – | | + | – | – | + | | + | + | – | – |
Metodą
mnemotechniczną
zapamiętania znaków dla stosowanych najczęściej w redukcji pierwszych czterech spośród powyższych funkcji jest popularny wierszyk nieznanego autora: - W pierwszej ćwiartce są dodatnie,
- w drugiej tylko sinus,
- w trzeciej tangens i cotangens,
- a w czwartej cosinus.
W innych wersjach pierwszy wers brzmi: - W pierwszej ćwiartce same plusy
lub - W pierwszej wszystkie są dodatnie.
Podstawowe tożsamości trygonometryczne
Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:
- definicja tangensa i kotangensa za pomocą sinusa i cosinusa (pozwala wyprowadzić tożsamości dla tangensa i kotangensa z tożsamości dla sinusa i cosinusa)[32]:
Geometryczny dowód wzoru - wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów[32]:
- wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów[32]:
- wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu[33]:
- wzory na sinus i cosinus połowy argumentu[34]:
- iloczyn w postaci sumy[34]:
- wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne[32][35]:
(Zastrzeżenie formalne: Równości powyżej są prawdziwe tylko dla argumentów, dla których wszystkie użyte funkcje są określone, a w mianownikach nie występują zera) Pochodne funkcji trygonometrycznychZachodzą równości[36]:
Można z nich otrzymać pochodne wyższych rzędów: - ,
- .
Wzory na n-te pochodne pozostałych funkcji trygonometrycznych również istnieją, jednak są o wiele bardziej skomplikowane[37][38][39][40]. Całki funkcji trygonometrycznych
Podstawowe całki to[41]:
gdzie . Każda całka
funkcji wymiernej
postaci jest elementarna, można ją
obliczyć przez podstawienie
[42]:
Wówczas:
Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonejUżywając definicji analitycznych funkcji trygonometrycznych można te funkcje uogólnić m.in. na liczby zespolone. Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistejUogólnione w ten sposób funkcje trygonometryczne zachowują większość własności zmiennej rzeczywistej: -
okresowość
(w tym okres podstawowy),
- tożsamości trygonometryczne,
-
miejsca zerowe
,
- punkty nieokreśloności:
- sinus i cosinus są określone w całym zbiorze liczb zespolonych,
- tangens jest określony w zbiorze liczb zespolonych, których usunięto liczby postaci , a cotangens – punktów postaci , gdzie jest całkowita.
Zasadniczą różnicą jest brak ograniczoności funkcji sinus i cosinus. Przykładowo cosinus niezerowego argumentu
urojonego
jest zawsze liczbą rzeczywistą większą od , w szczególności:
Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są (nieskończenie)
wielokrotne
na całej płaszczyźnie zespolonej. Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumentyFunkcja | Część rzeczywista | Część urojona |
Moduł
|
---|
| | | | | | | | | | | | | | | |
Argument
oblicza się według wzorów: - ,
gdzie to wartość odpowiedniej funkcji trygonometrycznej. Wzór Eulera
W dziedzinie zespolonej zachodzi związek, zwany wzorem Eulera:
Wynika z niego, iż:
gdzie: Wzory te pozwalają na niemal mechaniczne upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych. Wykresy
Liczby zespolone
na
płaszczyźnie zespolonej
zostały oznaczone kolorami, zgodnie z umownym schematem podanym z lewej strony. Odcienie barw określają
argument
, a jasność –
moduł
wyniku | | Funkcja sinus |
Funkcja sinus | Funkcja cosinus |
Funkcja cosinus | Funkcja tangens |
Funkcja tangens | Funkcja cotangens |
Funkcja cotangens | Funkcja secans |
Funkcja secans | Funkcja cosecans |
Funkcja cosecans | Związki z innymi funkcjami Funkcje odwrotne do trygonometrycznych
Funkcje odwrotne
do trygonometrycznych nazywane są też funkcjami kołowymi lub cyklometrycznymi. Ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych funkcje te są do nich odwrotne jedynie w przedziale obejmującym jeden okres[43]. Nazwa | Zapis | Odwrotna do | Dziedzina | Przeciwdziedzina |
---|
arcus sinus | | | | | arcus cosinus | | | | | arcus tangens | | | | | arcus cotangens | | | | | arcus secans | | | | | arcus cosecans | | | | |
HarmonikiSinusoidalny ruch prostego oscylatora
Funkcje postaci - ,
gdzie: są nazywane harmonikami[44]. Funkcje sinus i cosinus są ich szczególnymi przypadkami. Harmoniki mają duże znaczenie w praktyce, przy analizie funkcji okresowych.
Kombinacja liniowa
kilku harmonik o tej samej częstotliwości jest ciągle harmoniką o tej częstotliwości. Harmoniki stosowane są w
fizyce
przy badaniu wszelkich zjawisk okresowych, np.
drgań
. Wiele z tych zjawisk, np.
masa na sprężynie
,
wahadło
przy niewielkim wychyleniu, albo
obwód rezonansowy
sprowadzają się w wyidealizowanym przypadku (przy braku strat
energii
) do
równania różniczkowego
:
którego rozwiązaniami są harmoniki. Funkcje hiperboliczne
Sinus, cosinus i tangens hiperboliczny Jak podano w sekcji Definicja za pomocą równań funkcyjnych, funkcje sinus i cosinus można zdefiniować w następujący sposób[17]:
Jeśli warunek W2 zmienić na:
wówczas warunki W1, W2', W3 będą spełnione przez inne funkcje, które przez analogię nazywane są sinusem hiperbolicznym (sinh) i cosinusem hiperbolicznym (cosh)[45]. Analogicznie jak dla funkcji trygonometrycznych definiuje się też tangens, cotangens, secans i cosecans hiperboliczny jako odpowiednie ilorazy z udziałem sinusa i cosinusa hiperbolicznego. Istnieje także
całkowy sinus hiperboliczny
i całkowy cosinus hiperboliczny. Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji hiperbolicznych Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji trygonometrycznych Także definicja na okręgu jednostkowym dla funkcji trygonometrycznych ma swój odpowiednik hiperboliczny. Zamiast okręgu jednostkowego
należy wziąć
hiperbolę
o równaniu
Na okręgu jednostkowym argument funkcji trygonometrycznych odpowiadał mierze kąta, jednak jest ona równa polu wycinka kołowego, symetrycznego względem osi OX. Podobnie w przypadku funkcji hiperbolicznych argumentowi odpowiada pole odpowiedniego wycinka. Biorąc długości odcinków, które na okręgu odpowiadały funkcjom sinus, cosinus i tangens, uzyskuje się na hiperboli sinus, cosinus i tangens hiperboliczny[10]. Istnieją też inne analogie. Dla funkcji trygonometrycznych zachodzą równości, podane w sekcji Wzór Eulera. Analogiczne wzory występują dla funkcji hiperbolicznych[46]:
Istnieją też analogie niektórych tożsamości trygonometrycznych[46]:
Podobieństwa te wynikają z głębokiej symetrii pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a hiperbolicznymi, przejawiającej się także po ich uogólnieniu na argumenty zespolone[46]. Niektóre zastosowaniaZe względu na obecność funkcji trygonometrycznych w najróżniejszych działach nauki i techniki nie jest możliwe podanie wszystkich ich zastosowań[47]. Poniżej wymieniono więc tylko niektóre. GeometriaBezpośrednim zastosowaniem funkcji trygonometrycznych w
geometrii
elementarnej jest wyznaczanie długości boków lub kątów
trójkąta
. Poniżej podano kilka innych zastosowań. Twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów
Geometryczny dowód twierdzenia cosinusów dla kątów ostrych. Obydwie figury mają równe pola powierzchni. W każdym trójkącie (przy oznaczeniach standardowych, zob. rysunek) zachodzą następujące równości: Twierdzenie sinusów, inaczej twierdzenie
Snelliusa
[48]:
(R jest promieniem
okręgu opisanego
) Twierdzenie cosinusów, inaczej twierdzenie
Carnota
[49]:
Twierdzenie tangensów, inaczej twierdzenie
Regiomontana
[49]:
W geometrii sferycznej istnieje także twierdzenie haversinów, związane z nieużywaną dziś funkcją trygonometryczną , pozwalające na obliczanie odległości pomiędzy dwoma punktami na
sferze
[7]. Wzory na pole trójkątaWzory na pole trójkąta często wykorzystują funkcje trygonometryczne[47]:
lub
lub
gdzie: - to boki trójkąta,
- to miary kątów o wierzchołkach leżących naprzeciw boków odpowiednio i ,
- to promień koła opisanego.
Iloczyny wektorów
W geometrii i
algebrze liniowej
definiowane są iloczyny
wektorów
, m.in. iloczyny skalarny i wektorowy. Czasem konieczne jest obliczenie wartości iloczynu skalarnego lub wektorowego dla wektorów o znanych
kierunkach
,
zwrotach
i
długościach
. Wzory wykorzystują funkcje trygonometryczne kąta między wektorami: - iloczyn skalarny[50],
- ,
- iloczyn wektorowy[50],
- ,
- gdzie jest ustalonym
wektorem jednostkowym
prostopadłym
tak do , jak i do .
Współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe
Najczęściej w geometrii stosowany jest układ współrzędnych kartezjańskich. Niekiedy jednak wygodnie jest stosować inne
układy
, w których niektóre współrzędne są wyznaczone za pomocą kątów. Do takich układów należy
układ współrzędnych biegunowych
,
układ współrzędnych sferycznych
(jego zastosowaniem są np.
współrzędne geograficzne
) i
układ współrzędnych walcowych
. Wówczas przydatne są funkcje trygonometryczne, m.in. do przeliczania takich współrzędnych na współrzędne kartezjańskie. Geometria sferyczna
Funkcje trygonometryczne są ważnymi narzędziami
geometrii sferycznej
i jej zastosowań w
astronomii
,
nawigacji
i
geodezji
, gdzie służą m.in. do rozwiązywania
trójkątów sferycznych
.
Analiza matematyczna Szereg Fouriera
Przedstawienie fali prostokątnej w postaci szeregu harmonicznych Funkcje tworzą dla dowolnego
układ ortonormalny
. Dzięki temu
funkcje okresowe
spełniające tzw.
warunki Dirichleta
mogą być wyrażone w postaci tzw. szeregu Fouriera:
Można go również wyrazić za pomocą np. samych funkcji sinus. Poszczególne składowe tego szeregu nazywane są
harmonicznymi
. Szereg Fouriera odgrywa wielką rolę w fizyce, teorii drgań, a nawet
teorii muzyki
(zob.
szereg harmoniczny (muzyka)
,
alikwoty
).
Funkcja Weierstrassa
Za pomocą szeregu trygonometrycznego definiowana jest funkcja, która jest
ciągła
, jednak nie jest w żadnym punkcie
różniczkowalna
[51]: - ,
gdzie jest pewną liczbą z przedziału natomiast jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek . Funkcja Dirichleta
Za pomocą funkcji cosinus definiowana jest tzw. funkcja Dirichleta, która przyjmuje wartość 1 dla argumentów wymiernych i 0 dla niewymiernych[52]:
Teoria liczb
Choć
teoria liczb
jest dziedziną daleką od analizy matematycznej, także tutaj pojawiają się funkcje trygonometryczne. Na przykład[53]:
gdzie to tzw. funkcja Möbiusa. Zastosowania poza matematyką
Krzywe Lissajous
powstają przez złożenie sinusoidalnych drgań o różnej częstotliwości w pionie i w poziomie Funkcje trygonometryczne mają wiele zastosowań w najróżniejszych dziedzinach nauki i techniki, takich jak na przykład: -
akustyka
: np.
analiza harmoniczna
,
-
architektura
,
mechanika
: bezpośrednie zastosowanie do elementów trójkąta
-
astronomia
,
nawigacja
,
kartografia
,
oceanografia
: trygonometria sferyczna stosowana do powierzchni Ziemi
-
chemia
i
krystalografia
: obliczanie odległości pomiędzy atomami w krysztale,
-
ekonomia
(w szczególności analiza
rynków finansowych
),
probabilistyka
,
statystyka
,
meteorologia
: np.
analiza harmoniczna
szeregów czasowych
-
elektryka
i
elektronika
: np. przebiegi sinusoidalne
prądu zmiennego
-
fizyka
: np.
ruch harmoniczny
,
prawo załamania światła
, zob. też sekcję Harmoniki tego artykułu,
-
fonetyka
,
analiza języka naturalnego
:
analiza harmoniczna
głosek
-
geodezja
,
inżynieria lądowa
: w szczególności
niwelacja trygonometryczna
,
-
geofizyka
,
sejsmologia
: badanie
fal sejsmicznych
,
-
grafika komputerowa
: np. symulowanie odbicia i załamania światła w
ray tracingu
-
kompresja obrazu
: np. przy kompresji
JPEG
-
kryptologia
: w związku z zastosowaniami w teorii liczb,
-
obrazowanie medyczne
:
tomografia komputerowa
i
USG
wymagają obliczeń trygonometrycznych
-
optyka
: prawo załamania światła,
polaryzacja fali
,
-
robotyka
: np.
algorytm sterowania sinusoidalnego
,
-
teoria chaosu
[54],
-
teoria muzyki
: np.
alikwoty
,
szereg harmoniczny
.
Historia
Polskie nazwyPoloniści dopuszczają zarówno formy "cosinus, cotangens, cosecans, secans", jak i "kosinus, kotangens, kosekans, sekans". Słowniki języka polskiego skłaniają się ku tym drugim jako bardziej naturalnym dla języka polskiego[55], jednak słowniki i encyklopedie matematyczne raczej nie używają form spolszczonych, podobnie w naukowej literaturze matematycznej są one rzadko spotykane. Już pod koniec
XVIII wieku
Jan Śniadecki
próbował wprowadzić całkowicie polskie odpowiedniki nazw i skrótów funkcji trygonometrycznych[56][57] (w nawiasie proponowany skrót): - sinus – wstawa (wst),
- cosinus – dostawa (dost),
- tangens – styczna (sty),
- cotangens – dostyczna (dosty),
- secans – sieczna (sie),
- cosecans – dosieczna (dosie),
Propagował je potem m.in.
Andrzej Radwański
w dziele „Słownik wyrazów grecko-łacińskich w poznawaniu Rody używanych… bezpłatnie dodany do dzieła Treść nauki przyrodzenia” wydanym w 1850 roku[58]. Zwalczał tam wszelkie nazwy pochodzące z greki i łaciny. W latach 1918-1924 polskie nazwy próbował forsować rektor
Szkoły Politechnicznej we Lwowie
, prof.
Maksymilian Thullie
(1853-1939). Stosował je w swoich pracach, np. w podręczniku Statyka budowli (wyd. IV, Lwów 1921), jednak nie przyjęły się[59]. Oznaczenia funkcji trygonometrycznychW różnych krajach stosowane są różne skróty funkcji trygonometrycznych: Secans i cosecans są generalnie rzadko używane, lecz wszędzie stosuje się skróty sec i cosec/csc. Jedynie we Francji często dodawany jest nad tymi skrótami akcent: séc/coséc[67][68]. Przypisy- ↑ 1,0 1,1 Bronsztejn, Siemiendiajew (w bibliografii), s. 230
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 W innych krajach bywają stosowane inne skróty – zobacz sekcja Oznaczenia funkcji trygonometrycznych
- ↑
Mathworld – Versine
. [dostęp 10 stycznia 2009].
- ↑
Mathworld – Haversine
. [dostęp 10 stycznia 2009].
- ↑
Mathworld – Coversine
. [dostęp 10 stycznia 2009].
- ↑
Mathworld – Exsecant
. [dostęp 10 stycznia 2009].
- ↑ 7,0 7,1 D. Zwillinger: (red.) Spherical Geometry and Trigonometry. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995, ss. 468-471, §6.4, seria: CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. , zob. też
Haversine formula w angielskiej wikipedii
- ↑ Słownik encyklopedyczny – matematyka (w bibliografii), s. 90
- ↑ Reinhardt, Soeder (w bibliografii), ss. 182-183
- ↑ 10,0 10,1 Bronsztejn, Siemiendizjew, s. 253
- ↑ David Bressoud, Joy Laine:
Parallel Developments in Philosophy and Mathematics in India
(
ang.
). [dostęp 19 marca 2009]. s. 13.
- ↑ w przypadku pierścieni nilpotentnych szereg Taylora ma tylko skończoną liczbę wyrazów różną od 0
- ↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, ss. 417-418
- ↑ Reinhardt, Soeder, s. 294
- ↑
Mathworld - Secans - series representation
. [dostęp 10 stycznia 2009].
- ↑ Paweł Głowacki:
Analiza B. Wykład 3. Funkcje elementarne
. [dostęp 19 marca 2008]. twierdzenie 20
- ↑ 17,0 17,1 Reinhardt, Soeder, s. 295
- ↑ 18,0 18,1
Wolfram Mathworld – The best-known properties and formulas for trigonometric functions
. [dostęp 19 marca 2009].
- ↑ Stanisław Saks, Antoni Zygmund:
Funkcje analityczne
. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 299, seria: Monografie Matematyczne tom 10.
- ↑
Sine
(
ang.
). [dostęp 2 stycznia 2009].
- ↑
Tangent
(
ang.
). [dostęp 2 stycznia 2009].
- ↑
Cotangent: continued fraction representation
(
ang.
). [dostęp 2 stycznia 2009].
- ↑
Wolfram Mathworld – Connections within the group of trigonometric functions and with other function groups
. [dostęp 19 marca 2009].
- ↑ 24,0 24,1 Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 231
- ↑ Bronsztejn, Siemiendiejew, s. 625
- ↑ 26,0 26,1 Bronsztejn, Siemiendiajew, ss. 114-116
- ↑ Dave Rusin:
algebraic numbers query
(
ang.
). [dostęp 12 kwietnia 2008].
- ↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 233
- ↑
Wolfram Mathworld – Sine: Specific values
. [dostęp 19 marca 2009].
- ↑
Wolfram Mathworld – Tangent: Specific values
. [dostęp 19 marca 2009].
- ↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 232
- ↑ 32,0 32,1 32,2 32,3 32,4 Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 234
- ↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 235
- ↑ 34,0 34,1 Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 236
- ↑ Słownik encyklopedyczny – matematyka, ss. 93-94
- ↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 397
- ↑
Tangent differentiation
. [dostęp 24 stycznia 2009].
- ↑
Cotangent differentiation
. [dostęp 24 stycznia 2009].
- ↑
Secant differentiation
. [dostęp 24 stycznia 2009].
- ↑
Cosecant differentiation
. [dostęp 24 stycznia 2009].
- ↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 426
- ↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 438
- ↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 117
- ↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 237
- ↑ Reinhardt, Soeder, s. 297
- ↑ 46,0 46,1 46,2
Bogdan Miś
: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 164. .
- ↑ 47,0 47,1
Wolfram Mathworld – Introduction to the trigonometric functions
. [dostęp 19 marca 2009].
- ↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 239
- ↑ 49,0 49,1 Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 240
- ↑ 50,0 50,1 Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 650
- ↑
Paul Du Bois-Reymond
. Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen. „J. Reine Angew. Math”, ss. 21–37 (1875).
- ↑
Wolfram Mathworld – The Dirichlet function
. [dostęp 19 marca 2009].
- ↑
Mathworld - MoebiusMu[n
- Series representations]. [dostęp 10 stycznia 2009].
- ↑
Mathworld – Logistic equation solution
. [dostęp 10 stycznia 2009].
- ↑
Hasło cosinus w słowniku języka polskiego PWN
. [dostęp 12 kwietnia 2008].
- ↑ Jan Śniadecki: Trygonometrya kulista analitycznie wyłożona. Wyd. 2. 1820.
- ↑ Maksymilian Tytus Huber:
Pisma
. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1957.
- ↑ Mateusz Pasternak:
Anegdoty matematyczne
. [dostęp 12 kwietnia 2008].
- ↑ Roman Ciesielski, Katarzyna Tyńska:
Nasza Politechnika: Izydor Stella-Sawicki
. [dostęp 12 kwietnia 2008].
- ↑ 60,0 60,1 60,2 60,3 Max Fogiel:
Handbook of mathematical, scientific, and engineering formulas, tables, functions, graphs, transforms
. Research and Education Association, 1994, s. 213. , . [dostęp 22 marca 2009]. (
ang.
)
- ↑ 61,0 61,1 61,2 61,3 Anthony Nicolaides:
Pure Mathematics
. Wyd. 3. Pass Publications, 2007, s. 42. , . [dostęp 22 marca 2009]. (
ang.
)
- ↑ 62,0 62,1
Journal of engineering for industry
. American Society of Mechanical Engineers, 1969. [dostęp 22 marca 2009]. (
ang.
)
- ↑ Felix Klein:
Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis
. Cosimo, Inc., 2007, s. 180. , . [dostęp 22 marca 2009]. (
ang.
)
- ↑ 64,0 64,1 64,2 64,3 Zhi-shu He Tian:
數學定理、公式暨習題詳解
. 五南圖書出版股份有限公司, 2007, s. 133. , . [dostęp 22 marca 2009]. (
chiń.
)
- ↑ 65,0 65,1
Ke xue shi ji kan
. Ke xue chu ban she. [dostęp 23 marca 2009]. (
chiń.
)
- ↑ 66,0 66,1 66,2 66,3 Weikko Aleksanteri Heiskanen, Seppo Härmälä:
Maastomittaus ja kartoitus
. W. Söderström, 1972. [dostęp 23 marca 2009]. (
fiń.
)
- ↑ 67,0 67,1 67,2 67,3 67,4 Jean Baptiste, Joseph Delambre:
Histoire de l'astronomie du moyen âge
. V. Courcier, 1819, s. 462. [dostęp 22 marca 2009]. (
fr.
)
- ↑ 68,0 68,1 68,2 68,3 68,4 Pascal Dupont:
Exercices de mathématiques: Volume 1, Algèbre et géométrie
. Wyd. 2. De Boeck Université, 2005, s. 98. , . [dostęp 22 marca 2009].
- ↑ 69,0 69,1 Gilles Desbiens:
Trigonométrie du triangle rectangle
(
fr.
). [dostęp 22 marca 2009].
- ↑ 70,0 70,1 André Caillemer, Catherine Le Cocq:
Astronomie de position, géodésie
. Wyd. 2. Editions TECHNIP, 1998, s. 187. , . [dostęp 22 marca 2009]. (
fr.
)
- ↑ 71,0 71,1 71,2 71,3 Arenas Solá:
Matemáticas: fichas de la asignatura
. Edicions Universitat Barcelona, s. 24. , . [dostęp 22 marca 2009]. (
hiszp.
)
- ↑ 72,0 72,1 72,2 72,3 James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson, Héctor Vidaurri, Alejandro Alfaro:
Precálculo: Matemáticas para el cálculo
. Wyd. 5. Cengage Learning Editores, 2007, s. 411. , . [dostęp 22 marca 2009]. (
hiszp.
)
- ↑ 73,0 73,1 Lira Contreras, Ana Rosa:
Geometria y Trigonometria
. Ediciones Umbral, s. 117. , . [dostęp 22 marca 2009]. (
hiszp.
)
- ↑ 74,0 74,1 Salvador Guillén Vázquez:
Manual de matemáticas para acceso a la Universidad
. Editorial Ramón Areces, 1991, s. 442. , . [dostęp 22 marca 2009]. (
hiszp.
)
- ↑ 75,0 75,1 75,2 75,3 Jean-Pierre Daems, Edward Jennekens, Valentijn Van Hooteghem:
Argument 4-5 - Goniometrie - Driehoeksmeting
. Uitgeverij De Boeck, 2004, s. 211. , . [dostęp 23 marca 2009].
- ↑ 76,0 76,1 76,2 76,3 Sulistiyono, Sri Kurnianingsih, Kuntarti: Matematika Sma Dan Ma untuk Kelas XI Semester 1. Jakarta: ESIS, s. 172. , . . (
indonez.
)
- ↑ 77,0 77,1 77,2 77,3 信州大学. 工学部:
信州大学工学部紀要
. 信州大学工学部, 1981. [dostęp 22 marca 2009]. (
jap.
)
- ↑ 78,0 78,1 78,2 78,3 Yong-un Kim:
Tongyang ŭi kwahak kwa sasang: Hanʼguk kwahak ŭi kanŭngsŏng ŭl chʻajasŏ
. Ilchisa, 1984. [dostęp 23 marca 2009]. (
kor.
)
- ↑ 79,0 79,1 79,2 79,3
Litovskiĭ fizicheskiĭ sbornik
. Gos. izd-vo polit. i nauch. lit-ry, 1984. [dostęp 23 marca 2009]. (
lit.
)
- ↑ 80,0 80,1 80,2 80,3 Johann Mutschmann, Fritz Stimmelmayr, Werner Knaus:
Taschenbuch der Wasserversorgung
. Vieweg+Teubner Verlag, 2007, s. 873. , . [dostęp 22 marca 2009]. (
niem.
)
- ↑ 81,0 81,1 Hans Geiger, Karl Scheel:
Handbuch der Physik
. Julius Springer, 1928. [dostęp 22 marca 2009]. (
niem.
)
- ↑ 82,0 82,1 82,2
Memórias da Academia das ciências de Lisboa, classe de ciências
. Lisbona: 1967. [dostęp 22 marca 2009]. (
port.
)
- ↑ 83,0 83,1 83,2 83,3
Dubbel Manual Da Construcao de Maquinas
. Hemus, s. 68. , . [dostęp 22 marca 2009]. (
port.
)
- ↑ 84,0 84,1 Antônio Gonçalves, Moreira Couto:
Geometria descritiva e insolação
. 1961. [dostęp 22 marca 2009]. (
port.
)
- ↑ 85,0 85,1 85,2 85,3
Тесты и экзаменационные задания по математике за курс средней школы (ЕГЭ): Учебное пособие
. Издательский дом "Питер", s. 160. , . [dostęp 22 marca 2009]. (
ros.
)
- ↑ 86,0 86,1 86,2 86,3 Orta Doğu:
Isi transferí
. [dostęp 23 marca 2009]. (
tur.
)
- ↑ 87,0 87,1 87,2 87,3 Mykola Platonovych Bahan:
Ukraïnsʹka radi͡a͡nsʹka entsyklopedii͡a͡
. Akademii͡a nauk Ukr. Radi͡ansʹkoï Sot͡sialistichnoï Respubliky, 1959. [dostęp 22 marca 2009]. (
ukr.
)
- ↑ 88,0 88,1 88,2 88,3
A Magyar Tudományos Akadémia Matematikai és Fizikai Tudományok Ostályának kózleményei
. 1974. [dostęp 22 marca 2009]. (
węg.
)
- ↑ 89,0 89,1 89,2 89,3 Pierangelo Andreini:
Manuale dell'ingegnere meccanico
. Wyd. 2. Hoepli Editore, 2002, s. 16. , . [dostęp 22 marca 2009]. (
wł.
)
- ↑ 90,0 90,1 90,2 90,3 James Stewart:
Calcolo. Funzioni di una variabile
. Apogeo Editore, 2001, s. 222. , . [dostęp 22 marca 2009]. (
wł.
)
Bibliografia- Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: PWN, 1976.
- Lidia Filist, Artur Malina, Alicja Solecka: Słownik encyklopedyczny – matematyka. Wydawnictwo Europa, 1998. .
-
Franciszek Leja
: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1976.
- Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych. Wyd. III. Warszawa: PWN, 1954.
- Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka. .
Zobacz też
Inne hasła zawierające informacje o "Funkcje trygonometryczne":
Biskup
...
Sztuka
...
Brno
...
Paznokieć
...
Diakon
...
Mioglobina
...
Poniemoń (dzielnica Kowna)
...
Aleksota (dzielnica Kowna)
...
Nowa Polityka Ekonomiczna
...
Nos
...
Inne lekcje zawierające informacje o "Funkcje trygonometryczne":
Świat roślinny i zwierzęcy w Polsce (plansza 15)
...
128. Ruchy roślin i ich przyczyny (plansza 10)
...
Programowanie - język C- C++ - biblioteki funkcji standardowych (plansza 7)
...
|