Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w
matematyce
, przede wszystkim w
teorii mnogości
,
teorii miary
i
rachunku prawdopodobieństwa
(w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z
miarami
).
Wprowadzenie
Już we wczesnych latach rozwoju teorii miary i teorii mnogości zauważono, że przy założeniu
aksjomatu wyboru
istnieją zbiory na
prostej rzeczywistej
, dla których nie można określić
miary Lebesgue'a
; przykładem takiego zbioru jest
zbiór Vitalego
. Później odkryto, że odrzucenie aksjomatu wyboru, a przyjęcie
aksjomatu determinacji
gwarantuje mierzalność wszystkich podzbiorów (twierdzenie
Jana Mycielskiego
i Stanisława Świerczkowskiego[1]). Stwierdzono również, że odpowiednie aksjomaty
dużych liczb kardynalnych
mogą dostarczyć sposobów mierzenia wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej.
Z różnych powodów tego typu dodatkowe założenia mogą być nie pożądane, wówczas należy uznać, że mogą istnieć zbiory tak dziwne, że określenie ich wielkości (tzn.
miary
) nie jest możliwe. Na ogół takie zbiory nie pojawiają się „nieproszone” i w praktyce matematycznej wystarczające okazuje się ograniczenie do dobrych zbiorów, które powinny być zamknięte na jak najszerszą klasę podstawowych operacji. Za takie uważa się
przekrój
,
sumę
, czy też
dopełnienie
(z tego też powodu w teorii miary większy nacisk kładzie się na operację brania
przeciwobrazu
, który zachowuje te operacje w przeciwieństwie do operacji brania
obrazu
; zob.
funkcja mierzalna
). Z tego powodu zbiór skonstruowany z dobrych zbiorów za pomocą wspomnianych operacji również powinien być dobry. Zaakceptowanie poprzedniego stwierdzenia oznacza (na podstawie zasady
indukcji
) przyzwolenie na konstruowanie dobrych zbiorów ze skończonej liczby zbiorów połączonych wspomnianymi trzema działaniami.
Rodziny
tego rodzaju były badane, lecz rezultaty okazały się mało istotne. Dopiero rozszerzenie definicji poprzez zezwolenie na działania nieskończone, ale
przeliczalne
, doprowadziło do rozkwitu wspomnianych wyżej dziedzin. Pojęcie σ-ciała może być uznane za abstrakcyjną definicję opisanej wyżej rodziny dobrych zbiorów.
Definicje
Dla ustalonej przestrzeni X σ-ciałem jej zbiorów nazywa się
przeliczalnie addytywne
ciało podzbiorów
zbioru X. Dokładniej,
rodzina
podzbiorów
niepustego zbioru
X stanowi σ-ciało, jeśli
σ-ciała zbiorów są też czasami nazywane σ-algebrami zbiorów.
Przestrzenią mierzalną nazywa się
parę uporządkowaną
gdzie oznacza pewne σ-ciało podzbiorów przestrzeni X. Przestrzeń (mierzalna) z miarą to trójka uporządkowana , gdzie jest przestrzenią mierzalną, a
jest (
σ-addytywną
)
miarą
. Przestrzeń (mierzalną) z
miarą probabilistyczną
określa się również nazwą „
przestrzeń probabilistyczna
”.
Własności
Ponieważ każde σ-ciało jest zamknięte na przekroje przeliczalne, to przekrój dowolnej rodziny σ-ciał na X jest znów σ-ciałem zbiorów. Dowodzi się, że dla dowolnej rodziny podzbiorów zbioru X istnieje
najmniejsze
σ-ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywa się je σ-ciałem generowanym przez tę rodzinę i oznacza symbolem bądź . Niech będzie σ-ciałem podzbiorów X, a będzie σ-
ideałem
podzbiorów X. Wówczas σ-ciałem generowanym przez jest zbiór
gdzie oznacza operację
różnicy symetrycznej
.
Przykłady
Niech X będzie niepustym zbiorem. Wówczas następujące rodziny podzbiorów X są σ-ciałami na X:
- rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru X – jest to najmniejsze σ-ciało określone na X,
-
rodzina wszystkich podzbiorów
zbioru X – jest to z kolei największe σ-ciało na danym zbiorze,
- rodzina dla dowolnego
- każde skończone ciało podzbiorów X.
Niech (X,τ) będzie
przestrzenią topologiczną
. Wówczas elementy σ-ciała σ(τ) nazywa się
zbiorami borelowskimi
przestrzeni X.
- jest zbiorem typu Gδ} jest mierzalnych w sensie Lebesgue'a
- oraz
- jest zbiorem otwartym} jest o własności Baire'a
.
- Jeśli λ jest
miarą Lebesgue'a
na prostej, to jest przestrzenią z miarą.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ J. Mycielski, S. Świerczkowski. On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness,
Fundamenta Mathematicae
, 54 (1964). s. 67-71.