W
teorii mnogości
, hipoteza Suslina to zdanie postulujące nieistnienie pewnego obiektu (tak zwanego drzewa Suslina). Zdanie to jest niezależne od standardowych
aksjomatów teorii mnogości
, tzn. zdania tego nie można udowodnić na gruncie tych aksjomatów ani nie można go obalić. Jest ono oznaczane przez SH (od angielskiego zwrotu the Suslin Hypothesis). Czasami SH, a czasami ¬SH jest użyteczną pomocą w dowodzie i w pewnych przypadkach zdania te są traktowane przez matematyków jako możliwe dodatkowe aksjomaty (oczywiście, zakłada się tylko jeden z nich).
Motywacja i historia
Prostą rzeczywistą
można następująco scharakteryzować w terminach porządku .
- Każdy
porządek liniowy
w którym
- (a) nie ma ani elementu
największego
ani elementu
najmniejszego
oraz
- (b)
topologia
porządkowa (generowana przez
przedziały
otwarte) jest
spójna
i
ośrodkowa
- jest
izomorficzny
z .
W
1920
, rosyjski matematyk Michał Jakowlewicz Suslin sformułował problem, czy w powyższej charakteryzacji można zastąpić ośrodkowość topologii porządkowej przez słabsze założenie warunku przeliczalnych
antyłańcuchów
(tzw ccc)[1]. Przypomnijmy że przestrzeń topologiczna spełnia ccc jeśli każda rodzina parami rozłącznych otwartych podzbiorów tej przestrzeni jest
przeliczalna
. Dla topologii wyznaczonej przez porządek liniowy, ccc jest równoważne stwierdzeniu, że każda rodzina rozłącznych przedziałów otwartych jest przeliczalna.
Jedną z równoważnych postaci SH jest stwierdzenie, że pytanie Suslina ma pozytywną odpowiedź i każdy porządek liniowy w którym
- (a) nie ma ani elementu największego ani elementu najmniejszego, oraz
- (b)' topologia porządkowa jest spójna i spełnia ccc
jest
izomorficzny
z .
Pytanie Suslina było bardzo naturalne, więc wielu matematyków poświęciło temu zagadnieniu swoje prace.
W latach
30. XX wieku
, jugosłowiański matematyk Kurepa wykazał, że negacja SH jest równoważna istnieniu pewnych dziwnych obiektów związanych z pierwszą
nieprzeliczalną
liczbą porządkową
ω1[2]. Współcześnie hipotezę Suslina formułujemy właśnie w języku drzew zaproponowanym przez Kurepę.
Na początku
lat 60. XX wieku
czeski matematyk Tomás Jech[3] i niezależnie amerykański matematyk Tennenbaum[4] wykazali, że hipotezy Suslina nie można udowodnić.
Około roku
1965
amerykańscy matematycy
Solovay
i Tennenbaum rozwinęli metodę
forsingu
, wprowadzając forsing iterowany i wykazali niezależność hipotezy Suslina od aksjomatów ZFC[5].
Jensen
udowodnił, że
aksjomat konstruowalności
implikuje ¬SH (a nawet
diament Jensena
do tego wystarczy)[6].
Definicje
- Prosta Suslina to porządek liniowy w którym
- (i) nie ma ani elementu największego ani elementu najmniejszego, oraz
- (ii) topologia porządkowa jest spójna i spełnia ccc, ale
- (iii) nie jest ośrodkowa.
- nie istnieje żadne drzewo Suslina
Własności
- Prosta Suslina istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje drzewo Suslina.
- Jeśli jest prostą Suslina (rozważaną z topologią porządkową), to
produkt
nie spełnia ccc.
- Jeśli jest prawdziwy, to istnieje drzewo Suslina czyli ¬SH jest prawdziwe.
- Jeśli
MA
+¬
CH
jest spełnione, to nie ma drzew Suslina i SH jest prawdziwe.
Bibliografia
- ↑ Michał Jakowlewicz Suslin. Probléme 3.
Fundamenta Mathematicae
1(1920), 223.
- ↑ Kurepa, Djuro. L'hypothèse de ramification. C. R. Acad. Sci., Paris 202, 185-187 (1936).
- ↑ Jech, Tomás. Non-provability of Souslin's hypothesis. Comment. Math. Univ. Carolinae 8 (1967) 291-305.
- ↑ Tennenbaum, S. Souslin's problem. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 59 1968 60--63
- ↑ Solovay, R. M.; Tennenbaum, S. Iterated Cohen extensions and Souslin's problem. Ann. of Math. (2) 94 (1971), 201-245.
- ↑ Devlin, Keith J.; Johnsbråten, Håvard. The Souslin problem. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 405. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974. viii+132 pp.
Zobacz też