W teorii mnogości , hipoteza Kurepy to zdanie postulujące istnienie pewnych obiektów (tak zwanych drzew Kurepy). Zdanie to jest niezależne od standardowych aksjomatów ZFC , tzn zdania tego nie można udowodnić na gruncie tych aksjomatów ani nie można go obalić. Jest ono oznaczane przez KH (od angielskiego zwrotu the Kurepa Hypothesis). Czasami KH a czasami ¬KH jest użyteczną pomocą w dowodzie i w pewnych przypadkach zdania te są traktowane przez matematyków jako możliwe dodatkowe aksjomaty. (Oczywiście, zakłada się tylko jeden z nich.)

Definicje

• Drzewo to porządek częściowy taki że dla każdego zbiór jest dobrze uporządkowany (przez relację ).
• Niech będzie drzewem.

(a) Dla każdego elementu określamy wysokość ht(t) elementu t w drzewie T jako typ porządkowy zbioru .

(b) Dla każdej liczby porządkowej α określamy α-ty poziom drzewa T jako .

• ω₁-drzewo to drzewo takie, że

(i) dla każdej przeliczalnej liczby α < ω₁, ale , oraz

(ii) .

• Niech będzie ω₁-drzewem. Powiemy, że łańcuch jest gałęzią w drzewie T jeśli .
• Drzewo Kurepy to takie ω₁-drzewo w którym istnieją przynajmniej ω₂ gałęzie.
• Hipoteza Kurepy (KH) to zdanie stwierdzające, że

istnieje drzewo Kurepy.

Własności

• Wzmocnienie diamentu Jensena implikuje KH. Zatem hipoteza Kurepy jest spełniona w universum konstruowalnym L.
• Jeśli istnieje liczba nieosiągalna , to pewne pojęcie forsingu forsuje ¬KH. Zatem, jeśli niesprzeczna jest teoria ZFC+"istnieje liczba nieosiągalna", to niesprzeczne jest również ZFC+¬KH.
• Powyżej liczba nieosiągalna jest niezbędna, jako że

¬KH implikuje że ω₂ jest nieosiągalna w L.

Zobacz też

• diament Jensena ,
• hipoteza Suslina ,
• CH ,
• V=L ,
• MA .