Runiczne cyfry w systemie piątkowym używane w średniowieczu w Skandynawii do zapisu dat

System liczbowy – to inaczej zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb .

Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego zbioru znaków , zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi ), które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji.

System jedynkowy

Najbardziej prymitywnym systemem liczbowym jest jedynkowy system liczbowy , w którym występuje tylko jeden znak (np. 1 , albo (częściej) pionowa kreska). W systemie tym kolejne liczby są tworzone przez proste powtarzanie tego znaku. Np. 3 w tym systemie jest równe 111, a pięć 11111. Systemem takim posługują się np. Pigmeje ^[]. Kiedy, w przypadku większych liczb, zaczyna się grupować symbole, np. po 5 (cztery równoległe kreski, przekreślone piątą), mamy do czynienia z przejściem do addytywnego systemu liczbowego.

Systemy addytywne i pozycyjne

Bardziej złożone systemy liczbowe można już podzielić na:

• Addytywne, w których liczby tworzy się przez dodawanie kolejnych symboli i stąd ich nazwa (np. jeśli "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16). Systemem addytywnym dziesiątkowym był system egipski, w którym używano oddzielnych hieroglifów dla potęg dziesiątki aż do siódmej włącznie. Innym przykładem addytywnego systemu jest dobrze znany i wciąż stosowany rzymski system liczbowy z podstawowymi wielokrotnościami 10 i 5; jego cyfry są I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000; jednak w tym systemie w niektórych przypadkach występuje odejmowanie, a nie tylko dodawanie.
• Pozycyjne, które posiadają symbole (cyfry) tylko dla kilku najmniejszych liczb naturalnych: 0, 1, 2, ..., g − 1, gdzie g to tzw. podstawa systemu, która może być dowolną liczbą naturalną większą niż 1. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych pozycjach i są mnożone przez odpowiednią potęgę g. W sytuacji, gdy dana potęga nie jest potrzebna do zapisu danej liczby, zostawia się w zapisie puste miejsce, lub częściej specjalny symbol. Współcześnie jest to cyfra 0 . Na przykład liczbę 5004,3 w dziesiętnym systemie liczbowym (czyli systemie, którego podstawą jest 10) odczytuje się jako:

Sześćdziesiątkowy system liczbowy , stosowany w Mezopotamii , w którym podstawowymi wielokrotnościami były 10 i 60, był częściowo addytywny, częściowo pozycyjny. Jest on najstarszym znanym systemem każdego z tych dwóch rodzajów. W życiu codziennym spotykamy ślady babilońskiego systemu w podziale godziny na 60 minut, a minuty na 60 sekund, oraz w podziale kąta na minuty i sekundy kątowe.

Zaletą systemów addytywnych jest możliwość zapisu nawet dużych liczb (pod warunkiem, że są okrągłe) za pomocą jednego znaku, a wadą złożoność, kłopoty interpretacyjne i zbyt wielka liczba cyfr przy mało okrągłych liczbach, oraz bardzo skomplikowany sposób dokonywania za ich pomocą prostych operacji arytmetycznych, wymagający zapamiętywania długich tabel.

Zaletą systemów pozycyjnych jest ich klarowność, łatwość dokonywania nawet złożonych operacji arytmetycznych oraz możliwość zapisu dowolnie dużej liczby, jednak do zapisu bardzo dużych liczb (nawet okrągłych) jest potrzebna duża liczba cyfr.

Współcześnie powszechnie używany jest system dziesiątkowy. W informatyce czasem stosowany jest system dwójkowy (binarny), ósemkowy i szesnastkowy (heksadecymalny).

Zastosowanie w informatyce

Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów , najbardziej naturalnym systemem w informatyce jest dwójkowy system liczbowy .

W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system ósemkowy , który spotyka się niekiedy do dziś.

Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.

Ze względu na specyfikę architektury komputerów, gdzie często najszybszy dostęp jest do adresów parzystych, albo podzielnych przez 4, 8 czy 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy . Sprawdza się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp. Na przykład:

2¹⁶ = 65536₁₀ = 10000₁₆

2³² = 4294967296₁₀ = 100000000₁₆

10000₁₆ i 100000000₁₆ są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.

System szesnastkowy często spotykany jest też na stronach WWW ( HTML ), gdzie stosowany jest do zapisu kolorów.

Przykład konwersji

Przykład rekurencyjnej funkcji w C++ , konwertującej liczby naturalne na system trójkowy:

void triple (int liczba){      int reszta = liczba %3;     if(liczba>2) triple (liczba/3);     cout<<reszta;     return;     }

Niektóre pozycyjne systemy liczbowe

• dwójkowy system liczbowy
• siódemkowy system liczbowy
• ósemkowy system liczbowy
• dziesiętny system liczbowy
• dwunastkowy system liczbowy
• szesnastkowy system liczbowy
• sześćdziesiątkowy system liczbowy
• System trójkowy zrównoważony

Inne systemy liczbowe

• jedynkowy system liczbowy
• pozycyjny system liczbowy oparty na złotej liczbie φ
• System Fibonacciego
• silniowy system pozycyjny
• skośny system dwójkowy

Bibliografia

• Georges Ifrah: Dzieje liczby czyli Historia wielkiego wynalazku. Wrocław: Zakład Narodowy im. Ossolińskich, 1990. .  ( pol. )

Zobacz też

• odwrotna notacja polska

Linki zewnętrzne

• Konwerter systemów liczbowych