Tablice geometryczne z encyklopedii z
1728
roku
Geometria (
gr.
γεωμετρία; geo – ziemia, metria – miara) – dziedzina
matematyki
badająca dla wybranych
przekształceń
ich
niezmienniki
, od najprostszych, takich jak
odległość
,
pole powierzchni
,
miara kąta
, przez bardziej zaawansowane, jak
krzywizna
,
punkt stały
, czy
wymiar
. W zależności od rodzaju przekształceń mówi się o różnych rodzajach geometrii.
Geometria euklidesowa
zajmuje się przede wszystkim badaniem niezmienników
izometrii
(zachowanie
odległości
) oraz
podobieństw
(zachowanie
kątów
),
geometria afiniczna
bada niezmienniki
przekształceń afinicznych
, zaś
geometria rzutowa
opisuje niezmienniki
przekształceń rzutowych
. Problemy te uogólnia się na inne przestrzenie i obiekty (np.
przestrzeń Riemanna
, czy
przestrzenie metryczne
), a metoda badania niezmienników jest podstawową metodą badania bardziej zaawansowanych obiektów matematycznych (np.
przestrzenie topologiczne
, abstrakcyjne
grupy
,
pierścienie
, itp.)
Geometria, podobnie jak
arytmetyka
należy do jednych z najstarszych nauk. Podobnie jak inne działy matematyki geometria wyewoluowała od badania kształtów znanych z codziennego życia do studiów nad nieskończenie wymiarowymi abstrakcyjnymi przestrzeniami matematycznymi.
Historia
Geometria powstała w starożytności. W swych początkach była zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrii pojawiły się w
VI wieku p.n.e.
w starożytnej Grecji (
Tales z Miletu
). Kompilacją poznanych do
III wieku p.n.e.
faktów jest dzieło
Euklidesa
Elementy
(ok.
300 p.n.e.
). Obejmuje ono teorię proporcji,
arytmetykę
oraz geometrię. Jest pierwszym dedukcyjnym wykładem geometrii w historii matematyki. Wszystkie twierdzenia są wyprowadzone zgodnie z tradycyjnymi regułami
logiki
na podstawie przyjętych pojęć pierwotnych i
aksjomatów
, których było pięć. Jest to również pierwsza aksjomatyczna teoria w historii matematyki. Aksjomatyzacja arytmetyki pojawiła się wiele wieków później.
Momentem przełomowym w rozwoju geometrii było opublikowanie w
XVII w.
przez matematyka francuskiego
Kartezjusza
pracy La géométrie, (
1637
), co zapoczątkowało rozwój
geometrii analitycznej
. W pracy tej Kartezjusz wprowadził do geometrii metody algebraiczne. Niezależnie i nieco wcześniej uczynił to także
Pierre de Fermat
, który jednak nie opublikował swych wyników.
Pięć aksjomatów podanych przez Euklidesa przez dwa tysiąclecia stanowiło podstawę budowy geometrii. Dopiero w drugiej połowie
XIX w.
stwierdzono, że nie są one wystarczające. W roku
1882
matematyk niemiecki
Moritz Pasch
podał konieczne uzupełnienia. Pełny zestaw aksjomatów
geometrii euklidesowej
wraz z dowodem niesprzeczności tego systemu opublikował w
1899
matematyk niemiecki
David Hilbert
. Jednym z mniej oczywistych aksjomatów sformułowanych przez Euklidesa jest piąty (ostatni)
aksjomat
o równoległych, zwany często aksjomatem lub pewnikiem (również postulatem) Euklidesa. Jest on równoważny m.in. następującemu twierdzeniu: suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa mierze kąta półpełnego. Przez wiele wieków próbowano wyprowadzić ten aksjomat z pozostałych aksjomatów podanych przez Euklidesa. Próby te (które, jak dziś wiadomo, nie mogły przynieść sukcesu) przyczyniły się do rozwoju innych teorii, a także do powstania geometrii innych niż euklidesowa.
Geometrie te noszą nazwę
geometrii nieeuklidesowych
, a wspólną ich cechą jest to, że nie jest w nich spełniony piąty aksjomat Euklidesa (przykładami mogą tu być
geometria hiperboliczna
i
geometria eliptyczna
). Jedna z takich geometrii, a mianowicie
geometria Riemanna
, została zastosowana przy konstruowaniu
ogólnej teorii względności
. Teoria oparta na aksjomatach geometrii euklidesowej bez aksjomatu Euklidesa nazywa się
geometrią absolutną
. W geometrii absolutnej można wprowadzić na przykład odległość punktów i długość odcinka. Do geometrii absolutnej należą te twierdzenia, które są prawdziwe zarówno w geometrii euklidesowej, jak i w geometrii, w której prawdziwe jest zaprzeczenie piątego aksjomatu.
Powstanie rachunku różniczkowego i całkowego dało początek
geometrii różniczkowej
. Podwaliny geometrii różniczkowej stworzył szwajcarski matematyk i fizyk
Leonhard Euler
, a rozwinął ją w znacznym stopniu niemiecki matematyk i fizyk
Carl Friedrich Gauss
. Pod koniec
XVIII wieku
powstała
geometria wykreślna
obejmująca metody graficznego przedstawiania figur przestrzennych na płaszczyźnie. Jednocześnie skrystalizowała się
geometria rzutowa
, której pewne twierdzenia (na przykład twierdzenie Desarguesa) znane były już wcześniej. Do dalszego rozwoju geometrii duży wkład wniósł matematyk niemiecki
Bernhard Riemann
, który w
1854
roku dzięki użyciu metod geometrii różniczkowej ogłosił nową teorię. Zaproponował zastąpienie pojęcia płaszczyzny pojęciem powierzchni oraz pojęcia prostej pojęciem
linii geodezyjnej
, tj. takiej krzywej, leżącej na powierzchni, której łuk o końcach P, Q jest najkrótszym z leżących na powierzchni łuków o końcach P i Q dla P i Q dostatecznie bliskich. Teorię powierzchni Riemanna uogólnia się na wyższe wymiary, co znajduje zastosowanie w fizyce teoretycznej.
Od ogłoszenia przez matematyka niemieckiego
Felixa Kleina
programu erlangeńskiego zaczęła się rozwijać
geometria afiniczna
.
Za pewnego rodzaju uogólnienie geometrii można uważać
topologię
. Coraz większego znaczenia zaczęła nabierać
geometria algebraiczna
. Obecnie geometria nie jest jednolitym działem; składa się z wielu różnorodnych dziedzin, w których specjaliści stosują radykalnie odmienne metody. Relatywnie nowym działem geometrii są "geometrie skończone", w których liczba punktów na prostej jest skończona. Najważniejsze przykłady skończonych geometrii afinicznych i rzutowych otrzymuje się korzystając z istnienia ciał skończonych Galois. Inne tego typu geometrie skończone nazywamy egzotycznymi. W ramach klasycznej geometrii wyodrębniła się też geometria zbiorów wypukłych oraz - często uważana za ogólniejszą - geometria kombinatoryczna, zajmująca się na przykład ekonomicznym pokryciem płaszczyzny lub ogólniej n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej (kartezjańskiej) przez równoległe przesunięcia danego zbioru ograniczonego, wypukłego, domkniętego, o niepustym wnętrzu.
Zobacz też
Linki zewnętrzne