Wzór Eulera

Wzór Eulera

Trójwymiarowa ilustracja wzoru Eulera

Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą określany nazwiskiem Leonharda Eulera .

Spis treści

1 Wzór
2 Historia
3 Dowód
4 Trygonometria
- 4.1 Zastosowanie
- 4.2 Przykłady
5 Tożsamość Eulera
- 5.1 „Najpiękniejszy wzór”
- 5.2 Uogólnienie
6 Zobacz też

Wzór

Niech $x \in \mathbb R$ , zaś $\ i$ jest jednostką urojoną , wtedy wzór Eulera ma postać

$e^{ix} = \cos x + i\sin x\,$ .

Historia

Wzór Eulera został dowiedziony po raz pierwszy przez Rogera Cotesa w 1714 w postaci

$\ln(\cos x + i\sin x) = ix \,$

Euler był pierwszym, który opublikował go w obecnie stosowanej formie w 1748 , opierając swój dowód na równości szeregów po obu stronach tożsamości. Żaden z nich nie widział interpretacji geometrycznej tego wzoru: utożsamienie liczb zespolonych z płaszczyzną zespoloną powstało około 50 lat później (wynik Caspara Wessela ).

Dowód

Wzór można otrzymać określając potęgi zespolone liczby e . Rozwinięte w szereg potęgowy funkcje $\ e^x, \sin x, \cos x$ przyjmują wtedy postać:

$e^x = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \dots$ ,

$\sin x = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \dots$ ,

$\cos x = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \dots$ .

Powyższe definicje są poprawne również dla liczb zespolonych, gdyż promień zbieżności każdego szeregów jest nieskończony. Aby odróżnić przypadek rzeczywisty od zespolonego za $x \in \mathbb R$ podstawione zostanie $z \in \mathbb C$ .

Potęgę $e i z$ definiuje następujący wzór:

$e^{iz} = 1 + iz + {(iz)^2 \over 2!} + {(iz)^3 \over 3!} + {(iz)^4 \over 4!} + \dots = \left(1 - {z^2 \over 2!} + {z^4 \over 4!} - \dots \right) + i\left(z - {z^3 \over 3!} + {z^5 \over 5!} - \dots \right)$ ,

czyli $e i z = cos z + i sin z$ .

Ponieważ każdy z szeregów jest zbieżny bezwzględnie , to można zmieniać kolejność wyrazów bez zmiany sumy szeregu. Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia $z \mapsto x \in \mathbb R$ daje oryginalną tożsamość odkrytą przez Eulera.

Inne uzasadnienie formuły

Niech $f\colon \mathbb R \to \mathbb C$ będzie dana przez $f(x) = \cos(x) + i\sin(x)\,$ . Wówczas

$f'(x) = i\cos(x) - \sin(x) = i(\cos (x) + i\sin(x)) = if(x)\,.$

Następnie niech $g (x) = e - i x f (x)$ . Wtedy

$g'(x) = e^{-ix}(f'(x) - if(x)) = 0\,$

dla każdego $x$ , a stąd $g$ jest funkcją stałą. Ponieważ

$g(0) = e^{-i\cdot 0}f(0) = \cos(0) + i\sin(0) = 1\,,$

mamy $g (x) = 1$ dla wszystkich $x$ . Stąd też $f (x) = g (x) e i x = e i x$ , czyli

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\,$ .

Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.

Trygonometria

Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej . Odpowiednie wzory można wyprowadzić budując odpowiedni układ równań:

$\begin{cases} e^{ix} = \cos x + i\sin x \\ e^{-ix} = \cos (-x) + i\sin (-x)\end{cases}$ .

Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:

$\begin{cases} e^{ix} = \cos x + i\sin x \\ e^{-ix} = \cos x - i\sin x\end{cases}$ .

Po dodaniu stronami:

e i x + e - i x = 2cos x

$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$

Analogicznie otrzymuje się wzór:

$\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$ .

Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie $x = i y$ daje:

$\cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh y$ ,

$\sin(iy) = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = i\sinh y$ .

Zastosowanie

Tożsamość może zostać wykorzystana jako metoda do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga ona co prawda przejścia w rachunkach przez liczby zespolone , ale nie wymaga żadnej wiedzy na ich temat oprócz pamiętania, że $i 2 = - 1$ i znajomości poniższych trzech wzorów (funkcje tangens i cotangens określa się tak samo jak w przypadku rzeczywistym):

$\sin x = \tfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

$\cos x = \tfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$

$e^{ix} = \cos x + i\sin x\,$

Najpierw należy przekształcić upraszczany wzór za pomocą dwóch pierwszych wzorów na postać wykładniczą (w przypadku tangensa i cotangensa rozbijając go na iloraz funkcji sinus i cosinus), następnie wykonać odpowiednie działania tak, jak na zwykłych potęgach liczb rzeczywistych, a na koniec stosując jeden z wzorów Eulera wrócić do postaci trygonometrycznej wyrażenia.

Przykłady

Sinus kąta zwielokrotnionego

Dla całkowitych dodatnich $n$ wyrażenia postaci $sin n x$ dają się wyrazić za pomocą samych wartości $sin x$ i $cos x$ oraz elementarnych działań.

Korzystając z powyższych wzorów:

$\sin nx = \tfrac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i} = \tfrac{(e^{ix})^{n} - (e^{-ix})^n}{2i}$

Ze wzoru Eulera:

$\sin nx = \tfrac{(\cos{x} + i \sin{x})^{n} - (\cos{x} - i \sin{x})^n}{2i}$

Z dwumianu Newtona :

$\sin nx = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} \tfrac{\cos{x}^k (i \sin{x})^{n-k} - \cos{x}^k (-i \sin{x})^{n-k}}{2i}$

Wyłączając wspólny czynnik:

$\sin nx = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} \cos{x}^k \sin{x}^{n-k} \tfrac{i^{n-k} - (-i)^{n-k}}{2i}$

I stosując wzór Eulera dostajemy ostatecznie

$\sin nx = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} \cos{x}^k \sin{x}^{n-k} \sin{\frac{(n-k)\pi}{2}}$

Kilka pierwszych wielokrotności:

sin2 x = 2cos x sin x

sin3 x = 3cos 2 x sin x - sin 3 x

sin4 x = 4cos 3 x sin x - 4cos x sin 3 x

sin5 x = 5cos 4 x sin x - 10cos 2 x sin 3 x + sin 5 x

Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych

Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:

f (x) = 8cos 3 x sin x - 4cos x sin x

Korzystając ze wzorów Eulera na sinus i cosinus:

$f(x)=8\left( \tfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right) ^3 \tfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}-4\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\cdot \tfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

Po wymnożeniu jest:

$f(x)=(e^{3ix}+3e^{2ix}e^{-ix}+3e^{ix}e^{-2ix}+ e^{-3ix})\tfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}-\tfrac{2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i}$

i dalej:

$f(x)= \tfrac{e^{4ix}+3e^{2ix}+3+ e^{-2ix}-e^{2ix}-3-3e^{-2ix}-e^{-4ix}}{2i} -\tfrac{2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i}$ ,

po skróceniu:

$f(x)= \tfrac{e^{4ix}-e^{-4ix}}{2i}$ ,

dlatego po zastosowaniu pierwszego z podanych wzorów Eulera wyrażenie ma postać:

f (x) = sin4 x

Tożsamość Eulera

Funkcja wykładnicza e^z może być zdefiniowana jako granica ciągu (1+z/N)^N, przy N dążącym do nieskończoności. Powyżej, kładziemy z=iπ i rozważamy wartości N od 1 do 100. Obliczanie wartości (1+iπ / N)^N jest przedstawione jako N-krotne powtórzenie możenia na płaszczyźnie zespolonej (gdzie ostatni punkt to wartość (1+iπ / N)^N). Zauważmy, że ze zwiększaniem liczby N, liczba zespolona (1+iπ / N)^N zbliża się do -1. Zatem e^iπ=-1.

W szczególności, podstawiając $x = π$ otrzymuje się równość:

e π i + 1 = 0

nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera).

Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.

„Najpiękniejszy wzór”

Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym. Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne : dodawanie , mnożenie i potęgowanie . Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych :

liczbę 0 ,
liczbę 1 ,
liczbę π ,
liczbę e ,
liczbę i , jednostkę urojoną liczb zespolonych .

Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz, co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania , którego prawa strona jest równa zeru.

Uogólnienie

Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki $n$ -tego stopnia sumują się do $0$ dla $n > 1$ :

$\sum_{k=0}^{n-1} e^\frac{2\pi i k}{n} = 0$ .

Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie $n = 2$ . Powyższą równość można zapisać i w postaci:

$\sum_{k=0}^{n} e^\frac{2\pi i k}{n} = 1$ .

ponieważ: $exp(2π i) = 1$ .

Zobacz też

Inne hasła zawierające informacje o "Wzór Eulera":

Nadciśnienie tętnicze ...

I wiek ...

Fosforan wapnia ...

Iwan IV Groźny ...

Uniwersytet Witolda Wielkiego ...

Kwas fosforowy ...

Nowa Polityka Ekonomiczna ...

Kopiec Kościuszki ...

Musical ...

Fruktoza ...

Inne lekcje zawierające informacje o "Wzór Eulera":

Potęgi (plansza 11) ...

Tworzenie wyrażeń algebraicznych (plansza 3) ...

228 Polska w okresie utrwalania się rządów komunistycznych (plansza 8) ...

Publikacje nauczycieli

Logowanie i rejestracja

Załóż nowe konto za darmo » Odzyskaj stracone hasło

Czy wiesz, że...

Ptak na godle Polski nie jest orłem – powszechnie przyjęło się, że jest to ptak bielik. A tak naprawdę bielik nie jest orłem. Należy on do rodziny ptaków jastrzębiowatych, jednak do podrodziny orłanów, a nie orłów.

ptak Polska godło orzeł bielik

Rodzaje szkół

AP Edukacja - licea
i szkoły policealne

Publikacje nauczycieli

Kontakt

Formularz dodania
szkoły do katalogu

Ogólnopolski Katalog Szkolnictwa
www.szkolnictwo.pl
ul. Kaszubska 10/16
75-036 Koszalin

Wszelkie pytania, uwagi i zmiany w katalogu prosimy kierować do:

	zmiany@szkolnictwo.pl

Wszelkie pytania, uwagi dotyczące Platformy Edukacyjnej prosimy kierować do:

	platforma@szkolnictwo.pl

Konta bankowe dla klientów katalogu szkolnictwo.pl:

Pełny ekran >>>

Wiadomości

Reklama

zamów reklamę >>>

Dodaj szkołę

Formularz dodania
szkoły do katalogu

Nauka

	Język angielski
Słówka - testy Słówka - lekcje Testy po angielsku Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Testy na prawo jazdy
Kategoria B - lekcje Kategoria B - testy do lekcji Testy do egzaminu

	Język niemiecki
Słówka - testy Słówka - lekcje Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Matematyka
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Konkurs "Kangur Matematyczny"

	Geografia
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Państwa świata

	Chemia
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Język hiszpański
Słówka

	Prawo
Egzamin konkursowy dla kandydatów na aplikantów

	Język polski
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Liceum - testy do lektur Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Ortografia - testy

	Historia
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji

	Biologia
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Fizyka i astronomia
Zadania do matury Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Informatyka
Informatyka - zadania do matury Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Wiedza o społeczeństwie
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Podstawy przedsiębiorczości
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Język angielski
	Filozofia
	Testy na prawo jazdy
	Język niemiecki
	Matematyka
	Geografia
	Chemia
	Język hiszpański
	Prawo
	Język polski
	Historia
	Biologia
	Fizyka i astronomia
	Informatyka
	Wiedza o społeczeństwie
	Podstawy przedsiębiorczości
	Egzaminy Zawodowe
	Materiały szkół