Część wspólna zbiorów (czasami przekrój zbiorów albo iloczyn mnogościowy zbiorów) - dla zbiorów A i B zbiór który zawiera te i tylko te elementy, która należą jednocześnia do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych, niepustych rodzin zbiorów.
Definicje
Część wspólna (przekrój, iloczyn mnogościowy, przecięcie) zbiorów A i B to
zbiór
, do którego należą te elementy zbioru A, które należą również do B. Część wspólna zbiorów A i B jest oznaczana przez . Tak więc:
- .
Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli jest niepustą rodzinę zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór
- .
Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów , gdzie zbiór indeksów I jest niepusty, część wspólną definiuje się jako
Przykłady
-
dzieli
n}.
- , ale
- Niech będzie rodziną wszystkich otwartych
przedziałów
o końcach wymiernych zawierających odcinek . Wówczas
- .
Własności
Operacje skończone
Dla dowolnych zbiorów A,B,C zachodzą następujące równości:
- ,
- ,
- (łączność),
- (przemienność),
- oraz (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i
sumy
, względem drugiego,
- (
prawo De Morgana
).
Ponadto,
- wtedy i tylko wtedy, gdy .
Operacje nieskończone
Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech , oraz będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów I,J,K są niepuste. Niech D będzie dowolnym zbiorem. Wówczas
Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę w pewnym sensie ilustrującą dlaczego zapis z rodzinami indeksowanymi jest czytelniejszy. Niech będzie niepustą rodziną zbiorów. Wówczas
Przekrój a obrazy i przeciwobrazy
Dla dowolnej
funkcji
, dowolnej rodziny indeksowanej
podzbiorów
zbioru X oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru Y, zachodzą następujące dwa stwierdzenia:
- (inaczej mówiąc,
przeciwobraz
przekroju jest przekrojem przeciwobrazu);
- (czyli
obraz
przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).
Część wspólna zbiorów w rodzinie wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru
Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego U (tzw. uniwersum) oraz jest
rodziną wszystkich podzbiorów
zbioru U, to
jest
ciałem zbiorów
(ogólniej:
algebrą Boole'a
). Algebra Boole'a ta jest zupełna. Zbiór U jest
elementem neutralnym
operacji części wspólnej .
Zapis
- ,
gdy (tzn. gdy jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu[1].
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki : wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 33. .