Rachunek wariacyjny - dziedzina
analizy matematycznej
zajmująca się szukaniem ekstremów
funkcjonałów
.
Funkcjonały są to odwzorowania określone na przestrzeniach funkcyjnych, których przeciwdziedzinami jest zazwyczaj zbiór
liczb rzeczywistych
. Szukanie ekstremów funkcjonałów jest działaniem zbliżonym (w sensie bliskości ideowej) do poszukiwania ekstremów funkcji rzeczywistych.
Przykładowe zagadnienie, rozwiązywane w rachunku wariacyjnym, to zadanie o
brachistochronie
, polegające na poszukiwaniu takiej krzywej, po której czas staczania się posiadającego masę punktu materialnego (pod wpływem działania siły ciężkości) jest najkrótszy.
Rozwiązaniami zagadnień wariacyjnych są
funkcje
.
Podstawowym wzorem rachunku wariacyjnego jest
równanie Eulera-Lagrange'a
drugiego rodzaju
określające warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału najprostszego
Rozwiązania tego równania nazywa się ekstremalami. Funkcjonał v może przyjmować ekstremum jedynie na nich.
Warto wspomnieć, że procedury rozwiązywania zagadnień wariacyjnych prowadzą często do
równań różniczkowych cząstkowych
, które są w ogólności bardzo trudne do rozwiązania. Zadanie komplikuje również fakt, że teoria równań różniczkowych zajmuje się poszukiwaniem rozwiązań w otoczeniu danego punktu, natomiast w rachunku wariacyjnym interesuje nas rozwiązanie na danym obszarze.
W rachunku wariacyjnym stosuje się także nieanalityczne metody o charakterze przybliżonym np. metoda łamanych Eulera, metoda Ritza.
Zobacz też