Mechanika kwantowa
|
|
|
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
|
Równanie Schrödingera Wstęp Aparat matematycznyInterpretacje |
---|
de Broglie'a-Bohma · Świadomość wywyołuje kolaps · Spójne historie kwantowe ·
Kopenhaska
· Statystyczna · Zmiennych ukrytych · Wielu światów · Logika kwantowa · Popularna · Stochastyczna · Transakcjonalna |
|
|
Równanie Schrödingera jest jednym z podstawowych równań
nierelatywistycznej mechaniki kwantowej
(obok
równania Heisenberga
), sformułowanym przez austriackiego fizyka
Erwina Schrödingera
w
1926
roku. Opisuje ono
ewolucję
układu kwantowego
w
czasie
. W nierelatywistycznej mechanice kwantowej odgrywa rolę analogiczną do
drugiej zasady
dynamiki
Newtona w
mechanice klasycznej
.
Postać ogólna
Najbardziej ogólna postać równania Schrödingera:
- ,
co w reprezentacji położeniowej przyjmuje postać:
gdzie
- i to
jednostka urojona
,
- jest
stałą Plancka
podzieloną przez 2π (nazywana niekiedy stałą Diraca, zredukowaną stałą Plancka lub h kreślonym),
- jest
operatorem energii całkowitej
, tzw.
hamiltonianem
układu,
- jest
wektorem stanu
,
- jest funkcją położenia i czasu, tzw.
funkcją falową
.
Praktyczne równania
Hamiltonian układu jest sumą dwóch operatorów, jeden jest operatorem
energii kinetycznej
- , a drugi
energii potencjalnej
. Dla pojedynczej nierelatywistycznej cząstki (v<<c) o
masie
m pozbawionej
ładunku elektrycznego
i
spinu
, energia kinetyczna ma postać:
gdzie jest operatorem
pędu
, zdefiniowanym w następujący sposób:
Energia potencjalna jest rzeczywistą funkcją skalarną, V = V(r). Łącząc wszystko razem uzyskujemy równanie Schrödingera zależne od czasu:
gdzie to operator
Laplace'a
(tzw.
laplasjan
). Jest to najczęściej spotykana postać równania Schrödingera, jednak nie najbardziej ogólna. Powyższe równanie jest cząstkowym równaniem różniczkowym, nazywanym też falowym równaniem Schrödingera. Dokonując rozdzielenia zmiennych uzyskujemy równanie Schrödingera niezależne od czasu. Równanie to stosuje się do tzw.
stanów stacjonarnych
(tj. takich w których energia nie zmienia się w czasie) i ma ono postać:
gdzie E jest energią układu. Podane równanie jest
równaniem własnym
energii. Rozwiązaniem równania własnego są funkcje własne i wartości własne E.
Równanie Schrödingera dla cząstki o ładunku q i masie spoczynkowej m w polu elektrycznym i magnetycznym ma postać:
Rozwiązania
Analityczne rozwiązanie niezależnego od czasu równania Schrödingera jest możliwe tylko w najprostszych przypadkach. Jednak te najprostsze sytuacje pozwalają nam zagłębić się w naturę zjawisk kwantowych, a niejednokrotnie są one przybliżeniem bardziej złożonych zjawisk. Kilka najbardziej typowych modeli pozwalających rozwiązać się analitycznie to:
Jednak dla wielu układów (np: wielu
orbitali atomowych
) nie istnieje analityczne rozwiązanie, w takich przypadkach należy stosować przybliżone metody rozwiązywania równań różniczkowych, wśród których najpopularniejsze to:
Prąd prawdopodobieństwa
W celu opisania rozwiązań niestacjonarnych tj. takich w których gęstość prawdopodobieństwa zmienia się w czasie, wprowadza się pojęcie gęstości prądu prawdopodobieństwa. Gęstość prądu prawdopodobieństwa opisuje płynięcie prawdopodobieństwa w przestrzeni. Dla przykładu rozważymy falowy pakiet opisany za pomocą
krzywej Gaussa
. Krzywa ta jest rozmieszczona wokół punktu x0. Wyobraźmy sobie, że punkt ten porusza się z prędkością v wzdłuż osi x w prawo, oznacza to, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki też przesuwa się w prawo, a tym samym kierunek gęstości prądu prawdopodobieństwa ma zwrot w prawą stronę. W języku matematyki wygląda to tak:
Gęstość prądu prawdopodobieństwa j jest zdefiniowana następująco:
i jest mierzone w jednostkach (prawdopodobieństwo)/(powierzchnia*czas) = r-2t-1. Gęstość prądu prawdopodobieństwa spełnia równanie ciągłości:
gdzie P(x,t)=|ψ|² jest gęstością prawdopodobieństwa mierzoną w jednostkach (prawdopodobieństwo)/(objętość) = r-3. Powyższe równanie jest zasadą zachowania prawdopodobieństwa. Łatwo wykazać, że dla fali płaskiej opisanej równaniem:
- gęstość prądu prawdopodobieństwa wynosi:
- .
Znaczenie równania
Funkcja własna będąca rozwiązaniem równania Schrödingera nosi nazwę funkcji falowej. Funkcja falowa, w najogólniejszej postaci funkcja zespolona, nie ma bezpośredniego sensu fizycznego. Dopiero jej kwadrat interpretujemy jako gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki. Powyższa interpretacja pochodzi od niemieckiego fizyka
Maxa Borna
, który podał ją w
1926
roku. Funkcja falowa reprezentuje
stan kwantowy
układu fizycznego w
przestrzeni Hilberta
funkcji całkowalnych z kwadratem (L2) gdzie iloczyn skalarny zdefiniowany jest jako
Równanie Schrödingera jest równaniem nierelatywistycznym, nie uwzględnia
kreacji
ani
anihilacji
cząstek, a pominięcie promieniowania sprawia, że np. wzbudzone stany atomu wodoru są rozwiązaniami stacjonarnymi, mimo, że w rzeczywistości jest to prawdą tylko w przybliżeniu[1]. Z połączenia szczególnej teorii względności z mechaniką kwantową wynika
równanie Kleina-Gordona
(nie uwzględnia ono
spinu
cząstki) i bardziej ogólne
równanie Diraca
(w którym spin jest uwzględniony).
Równanie Schrödingera dla fotonu jest jeszcze inne. Funkcją falową
fotonu
jest nie skalarna funkcja zespolona (lub spinor), ale
wektor Riemanna-Silbersteina
, a Hamiltonian dla fotonu nie zawiera operatora Laplace'a ale operator pędu zrzutowany na wektor spinu o długości 1.
Równanie Schrödingera jest podstawą jednego z trzech równoważnych sformułowań mechaniki kwantowej, jedno z nich to mechanika macierzowa (historycznie pierwsza) sformułowana przez
Wernera Heisenberga
. Trzecim jest sformułowanie mechaniki kwantowej w języku całek po trajektoriach (są to całki funkcjonalne, czyli całki z
funkcjonału
), której autorem jest
Richard Feynman
.
Równanie Schrödingera jest także podstawą współczesnej chemii. Wszelkie własności atomów i molekuł można otrzymać obliczając stosowne dla nich równanie Schrödingera, jednak wymaga to znacznych mocy obliczeniowych. Fakt ten jest jedną z kluczowych tez przemawiających za
redukcjonizmem
, co często wyrażane jest stwierdzeniem, że chemia daje się zredukować do fizyki.
Przypisy
- ↑ Eyvind H. Wichmann: Fizyka kwantowa. Warszawa: PWN, 1973, ss. 293, 345.
Bibliografia
- Schrödinger E., "Quantisierung als Eigenwertproblem I", Annalen der Physik 79 (1926), 361-376.
- Schrödinger E., "Quantisierung als Eigenwertproblem II", Annalen der Physik 79 (1926), 489-527.
- Schrödinger E., "Quantisierung als Eigenwertproblem III", Annalen der Physik 80 (1926), 734-756.
- Schrödinger E., "Quantisierung als Eigenwertproblem IV", Annalen der Physik 81 (1926), 109-139.