Animacja ilustrująca twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa – jest twierdzeniem geometrii euklidesowej , które w zachodnioeuropejskim kręgu kulturowym przypisywane jest żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi , chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie . Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach , Indiach i Babilonii .

Treść twierdzenia

Trójkąt prostokątny o bokach a, b i c

Twierdzenie Pitagorasa

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty , to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W sytuacji na rysunku obok: suma pól kwadratów "czerwonego" i "niebieskiego" jest równa polu kwadratu "fioletowego".

Dowody

Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest bardzo duża – Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze.

Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur. Zaprezentujemy tu jedynie kilka wybranych dowodów, do innych podajemy odsyłacze na końcu artykułu.

Dowód - układanka

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości i jak rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

Dowód - układanka

Szczepan Jeleński w książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie sam Pitagoras.

Powyższy dowód, choć prosty, nie jest elementarny w tym sensie, że jego poprawność wymaga uprzedniego uzasadnienia, że pole kwadratu złożonego z trójkątów i mniejszych kwadratów jest równe sumie pól tych figur. Może się to wydawać oczywiste, jednak dowód tego faktu wymaga uprzedniego zdefiniowania pola, na przykład poprzez konstrukcję miary Jordana .

Uwaga ta dotyczy wszystkich dowodów opartych na podobnych ideach.

Dowód przez podobieństwo (szkolny)

"Trójkąty podobne"

Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów . Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: "duży" – , "różowy" – i "niebieski" – są podobne. Niech i . Można napisać proporcje:

,

.

Stąd:

i po dodaniu stronami:

.

Dowód czysto geometryczny

Jeden z dowodów Euklidesa

Następujący dowód znajduje się w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwu mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego są równe polom odpowiednich prostokątów na jakie wysokość CD dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.

Dla dowodu zauważmy, że pole kwadratu jest równe podwojonemu polu trójkąta – podstawą trójkąta jest bok kwadratu, a wysokość trójkąta jest równa bokowi tego kwadratu. Podobnie, pole prostokąta jest równe podwojonemu polu trójkąta – podstawą trójkąta jest bok prostokąta, a wysokość trójkąta jest równa bokowi prostokąta. Jednak trójkąty i są przystające , co wynika z cechy "bok-kąt-bok" – i kąt jest równy kątowi – a zatem mają równe pola, skąd wynika, że pole kwadratu jest równe polu prostokąta .

Analogicznie, rozważając trójkąty i można udowodnić, że pole kwadratu jest równe polu prostokąta . Stąd, suma pól obu kwadratów równa jest polu kwadratu .

Dowód Garfielda

"Ilustracja dowodu Garfielda"

Autorem innego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest James Garfield , dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten pochodzi z roku 1876 i przebiega następująco: na przyprostokątnej danego trójkąta prostokątnego odkładamy , a następnie na prostej równoległej do odkładamy . Trójkąt jest prostokątny i równoramienny, a jego pole wynosi ; pola trójkątów i są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie . Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez o polu . Stąd równości:

Twierdzenie odwrotne

Prawdziwe jest następujące twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Kąt prosty w trójkącie egipskim

Jeśli dane są trzy dodatnie liczby i takie, że , to istnieje trójkąt o bokach długości i a kąt między bokami o długości i jest prosty.

Najprawdopodobniej twierdzenie to wykorzystywane było w wielu starożytnych kulturach Azji (Chinach, Indiach, Babilonii) i Egipcie do praktycznego wyznaczania kąta prostego. Wystarczy bowiem zbudować trójkąt o bokach długości , i jednostek, aby uzyskać kąt prosty między bokami o długościach i .

Dowód

Twierdzenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów .

My to udowodnimy następująco:

Weźmy dowolny trójkąt o bokach odpowiednio:

spełniający warunek:

.

Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt taki że:

oraz

Trójkąt jest prostokątny zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć bok  :

z trójkąta mamy:

zatem:

Okazało się, że:

Z cechy przystawania trójkątów BBB wnioskujemy, że trójkąty i są przystające. Z faktu, iż trójkąt jest prostokątny wynika, że trójkąt jest prostokątny.

Uogólnienia

Pewne uogólnienia twierdzenia Pitagorasa zostały podane już przez Euklidesa w jego Elementach : jeśli zbuduje się figury podobne na bokach trójkąta prostokątnego, to suma pól powierzchni dwóch mniejszych będzie równa polu powierzchni największej figury.

Twierdzenie cosinusów

Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolne, niekoniecznie prostokątne, trójkąty nosi nazwę twierdzenia cosinusów i znane było już w starożytności:

Jeśli w trójkącie o bokach długości i oznaczyć przez miarę kąta leżącego naprzeciw boku , to prawdziwa jest równość:

.

Twierdzenie Dijkstry o trójkątach

Trywialny wniosek z twierdzenia cosinusów zgrabnie sformułował Edsger Dijkstra :
Jeżeli w dowolnym trójkącie naprzeciw boków długości a,b i c znajdują się odpowiednio kąty α,β,γ, to zachodzi równość:

,

gdzie oznacza funkcję signum .

Uogólnienie na dowolną przestrzeń euklidesową

Niech będzie przestrzenią euklidesową oraz . Jeśli , to
Jeszcze inne uogólnienie twierdzenia Pitagorasa w przestrzeniach euklidesowych to tożsamość Parsevala.

Uwagi

Trzeba zauważyć, że twierdzenie Pitagorasa jest twierdzeniem geometrii euklidesowej i wynika z aksjomatów tej teorii, a w istocie równoważne jest słynnemu piątemu pewnikowi Euklidesa o prostych równoległych . Nie musi być ono prawdziwe dla trójkątów, które mierzymy w naszym wszechświecie. Jednym z pierwszych matematyków, którzy zdali sobie z tego sprawę był Carl Gauss , który bardzo starannie mierzył wielkie trójkąty w swoich badaniach geograficznych, aby sprawdzić prawdziwość twierdzenia. Na powierzchni kuli twierdzenie to nie jest jednak prawdziwe – obowiązuje tam geometria sferyczna będąca szczególnym przypadkiem nieeuklidesowej geometrii Riemanna .

Ogólna teoria względności mówi, że w polach grawitacyjnych twierdzenie jest fałszywe (tam także obowiązuje zmodyfikowana geometria Riemanna). Również w olbrzymich skalach kosmicznych to twierdzenie może być fałszywe w związku z krzywizną przestrzeni w wielkiej skali. Jest to jeden z otwartych problemów kosmologii .

Zobacz też

• ,
• trójki pitagorejskie .

Bibliografia

• Szczepan Jeleński , Emilia Jeleńska: Rozrywki matematyczne 2, Śladami Pitagorasa. Wyd. 8. Warszawa: WSiP, 1988, s. 295. .  ( pol. )

Linki zewnętrzne

• Kilka dowodów twierdzenia Pitagorasa ( ang. )