Ruch harmoniczny -
drgania
opisane funkcją sinusoidalną (harmoniczną). Jest to najprostszy w opisie matematycznym rodzaj drgań.
Ruch harmoniczny jest często spotykanym rodzajem drgań, również wiele rodzajów bardziej złożonych drgań może być opisane jako w przybliżeniu harmoniczne. Każde drganie można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych. Przekształceniem umożliwiającym rozkład ruchu drgającego na drgania harmoniczne jest
transformacja Fouriera
.
Ruch harmoniczny prosty
Ruch harmoniczny ciała na sprężynie
Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi:
gdzie
- - siła,
- k - współczynnik proporcjonalności,
- - wychylenie z położenia równowagi.
Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać (z II zasady dynamiki Newtona) jako:
albo w postaci różniczkowej:
Jest to
równanie różniczkowe
zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t)).
Rozwiązania tego równania można równoważnie opisać za pomocą dowolnej z poniższych funkcji:
gdzie:
Są to tzw.
harmoniki
. Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.
Częstość kołową ω0 wiąże z
okresem
drgań T związek:
- ,
częstotliwość
drgań ν natomiast wynosi
Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne.
Energia w ruchu harmonicznym prostym
Energia potencjalna dla siły proporcjonalnej do wychylenia.
Wykres zależności energii od wychylenia
Z zasady zachowania energii, wynika zależność, z której można wyznaczyć energię kinetyczną:
Z równania powyższego wynika kilka faktów (na podstawie
jedynki trygonometrycznej
i porównania współczynników we wzorze z powyższym):
Ciało drgające ma maksymalną prędkość gdy przechodzi przez położenie równowagi i ma ona wartość:
- v0 = x0ω0
prędkość chwilowa zmienia się jak
Bezpośrednio z równania ruchu wynika, że przyspieszenie jest opisywane zależnością:
Ruch harmoniczny tłumiony
Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na ciało działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości:
Równanie ruchu ma wtedy postać:
Wprowadzając oznaczenie[1]:
Powyższe równanie można wyrazić:
Rozwiązanie równania można wyrazić w postaci:
Przy czym przyjęto oznaczenie:
Wielkość ω jest nazywana zmodyfikowaną częstością drgań, jest zależna nie tylko od siły kierującej ale też od współczynnika tłumienia i maleje gdy współczynnik tłumienia rośnie.
Stałe A i B zależą od warunków początkowych następującymi związkami:
gdzie:
- x0 - położenie początkowe, dla t = 0,
- v0 - prędkość początkowa, dla t = 0.
Położenie w ruchu harmonicznym nietłumionym (zielony), tłumionym (czerwony), obwiednia ruchu tłumionego (czarny)
Oscylator drgający
Gdy , ω jest liczbą liczbą rzeczywistą. Ruch opisuje wzór:
Przedstawione wyżej rozwiązanie składa się z dwóch czynników:
- - malejącego wykładniczo z czasem,
- - oscylacyjnego, zmieniającego się z częstością ω
Dla słabego tłumienia czynnik wykładniczy jest w ciągu jednego cyklu w zasadzie stały, co można uwzględnić w obliczeniach. Wówczas można przyjąć, że ruch jest harmoniczny, z malejącą amplitudą.
Oscylator przetłumiony
Gdy tłumienie jest silne , wówczas ω nie ma wartości rzeczywistych. Ale przyjmując, że jest wartością urojoną powyższe równanie spełnia rozwiązanie. Przyjmując:
Po wykorzystaniu własności funkcji trygonometrycznych dla wartości urojonych, rozwiązanie można zapisać w postaci:
Przypadek ten odpowiada tak zwanemu oscylatorowi przetłumionemu. W tej sytuacji drugi czynnik wyrażenia jest wolnozmienny a nie oscylacyjny jak poprzednio, dlatego nie występuje ruch wahadłowy, a jedynie zbliżony do eksponencjalnego zanik wychylenia z czasem.
Diagramy fazowe
Wykres fazowy (położenie - prędkość) ruchu harmonicznego
Na
wykresie fazowym
obok znajdują się krzywe fazowe - dla ruchu harmonicznego prostego (zielony) i ruchu harmonicznego tłumionego (czerwony).
Parametry ruchów:
- ω = 1,0
- β = 0,2
- x0 = 1,0
- v0 = 1,0
Przybliżanie innych rodzajów ruchu przez drgania harmoniczne
Przybliżenie za pomocą prostego ruchu harmonicznego stosuje się np. do opisu małych drgań
wahadła matematycznego
.
Ogólniej, załóżmy, że ciało znajduje się w położeniu xr równowagi trwałej; innymi słowy w punkcie xr energia potencjalna tego ciała przyjmuje wartość minimalną E(xr). Jeżeli funkcja E(x) posiada rozwinięcie w
szereg Taylora
w otoczeniu xr, otrzymujemy:
Dla dostatecznie małych h można pominąć wyrazy z h do potęgi większej niż 2. Wyraz z h się zeruje (warunek konieczny występowania minimum), pozostaje równanie postaci:
Można obliczyć siłę dla takiej energii potencjalnej jako ujemny
gradient potencjału
(energii potencjalnej).
Wniosek: Pod warunkiem, że dla danego ruchu funkcja energii E(x) jest funkcją dość regularną (tzn. posiada rozwinięcie w szereg Taylora, co w praktyce oznacza, że posiada ciągłą pierwszą i drugą pochodną w pewnym otoczeniu punktu równowagi) to dla niewielkich wychyleń z położenia równowagi ruch ten możemy opisywać z dobrym przybliżeniem jako drgania harmoniczne.
Przykłady ruchów harmonicznych
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Frank S. Crawford: Fale. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973.